A C. 1011. feladat (2009. december)

C. 1011. Bizonyítsuk be, hogy az a³-3ab²+2b³ kifejezés értéke nemnegatív, ha a és b nemnegatív valós számok.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a^3 - 3ab^2 + 2b^3 = a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) = (a - b)\left(a(a+b)-2b^2\right)\). Ha \(\displaystyle a\ge b\), akkor egyrészt \(\displaystyle a-b\ge 0\), másrészt mivel

\(\displaystyle b\ge 0 \quad : \quad a^2\ge b^2; \ \ ab\ge b^2\)

alapján \(\displaystyle a(a+b)\ge 2b^2\), azaz a második tényező is nemnegatív: szorzatuk nemnegatív. Ha \(\displaystyle a<b\), akkor \(\displaystyle a-b<0\) és \(\displaystyle a\ge 0\) miatt \(\displaystyle a^2<b^2\) ill. \(\displaystyle ab<b^2\), azaz \(\displaystyle a(a+b)< 2b^2\). Mivel a szorzat mindkét tényezője negatív, szorzatuk pozitív. Tehát az eredeti összeg minden nemnegatív \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\)-re nemnegatív.

Statisztika:

271 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	131 versenyző.
4 pontot kapott:	88 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai