A C. 1015. feladat (2010. január)

C. 1015. Egy háromjegyű számhoz hozzáadtuk a számjegyeinek összegét, így egy ugyanolyan számjegyekből álló számot kaptunk. Ezután az eredeti számból levontuk a számjegyeinek összegét és így is ugyanolyan számjegyekből álló számot kaptunk. Mi volt az eredeti szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eredeti háromjegyű szám legyen \(\displaystyle \overline{abc}\). Ha levonjuk belőle a számjegyeinek az összegét, akkor \(\displaystyle (100a+10b+c)-(a+b+c)=99a+9b\) az eredmény, ami osztható 9-cel.

Mivel egy háromjegyű szám számjegyeinek összege legfeljebb 27, így a két kapott szám közti különbség legfeljebb \(\displaystyle 2\cdot27=54\). Az azonos számjegyekből álló háromjegyű számok: \(\displaystyle 111\), \(\displaystyle 222\), stb. Két ilyen szám közötti különbség legalább 111. Tehát nem lehet mindkét szám, amit kapunk, háromjegyű.

A legkisebb megfelelő négyjegyű szám a 1111, ami a már elmondottak miatt túl nagy.

Tehát a kisebb szám kétjegyű, a nagyobb pedig háromjegyű. 9-cel oszható, azonos számjegyekből álló kétjegyű szám csak egy van, a 99. Mivel \(\displaystyle 99+54=153\), ezért a nagyobbik szám csak a 111 lehet. Az eredeti szám pedig \(\displaystyle \frac{99+111}{2}=105\), ami meg is felel a feltételnek: \(\displaystyle 105+6=111\) és \(\displaystyle 105-6=99\).

Megjegyzés: A feladat megfogalmazása nem volt elég pontos. Aki helyesen megoldotta azt a - nehezebb - feladatot, hogy a két kapott szám számjegyei megegyeznek az eredeti szám számjegyeivel, az is megkapta az 5 pontot.

Statisztika:

193 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai