A C. 1040. feladat (2010. szeptember)

C. 1040. Egy stadion zöld gyepét két, egymással párhuzamos 100 méteres egyenes szakasz és két, ezekhez csatlakozó 100 méter hosszú félkörív határolja. Hányszorosa a gyep területének egy 400 m kerületű kör területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenes szakaszok távolságát jelöljük $\displaystyle 2r$-rel, így a hozzájuk csatlakozó félkörök sugara $\displaystyle r$. A félkör kerülete $\displaystyle \pi r=100$m miatt $\displaystyle r=\frac{100}{\pi}m$. A gyep területe pedig a két félkör területének és a közöttük található téglalap alakú gyep területének összege: $\displaystyle t=\pi r^2+100\cdot 2r=\frac{100}{\pi}(100+200)m^2$. Egy 400m kerületű kör sugara $\displaystyle R=\frac{400}{2\pi}m$, területe $\displaystyle T=\frac{40000}{\pi}m^2$.

$\displaystyle \frac Tt =\frac{40000 \over \pi}{30000 \over \pi}=\mathbf{\frac{4}{3}}$. A gyep területének $\displaystyle \frac{4}{3}$-szorosa egy 400m kerületű kör területe.

Statisztika:

514 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	412 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	40 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai