A C. 1042. feladat (2010. szeptember)

C. 1042. Oldjuk meg a

x+y=x²-xy+y²

egyenletet, ahol x és y egész számok.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletet $\displaystyle x^2-(y+1)x+y^2-y=0$ alakra, és vizsgáljuk, mint másodfokú egyenletet $\displaystyle y$ paraméterrel. Az egyenlet diszkriminánsa $\displaystyle (y+1)^2-4(y^2-y)=1+6y-3y^2$. Az egyenletnek lesz megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív. Vizsgáljuk tehát (az ellentétét véve) a $\displaystyle 3y^2-6y-1\le 0$ másodfokú egyenlőtlenséget. Ez teljesül, ha $\displaystyle y$ legalább akkora, mint a bal oldal kisebbik gyöke, de legfeljebb akkora, mint a nagyobbik. A gyököket megoldóképlettel megkeresve kapjuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{1-\frac{2\sqrt 3}{3}\le y \le 1+\frac{2\sqrt 3}{3}}$. Mivel a feladat szerint $\displaystyle y$ egész, ezért $\displaystyle y$ lehetséges értékei a $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$. Megjegyezzük, hogy az eredeti egyenletben $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ szerepe szimmetrikus volt, ezért $\displaystyle x$ szintén csak $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle 2$ lehet. A lehetséges értékeket sorba behelyettesítve megoldandó tehát az $\displaystyle x^2-x=0$ (x=0, 1), $\displaystyle x^2-2x=0$ (x=0, 2) és az $\displaystyle x^2-3x+2=0$ (x=1, 2) egyenletek. Az $\displaystyle x+y=x^2-xy+y^2$ egyenlet megoldáshalmaza tehát: {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)} .

Statisztika:

295 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	41 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai