Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1043. feladat (2010. szeptember)

C. 1043. Adott az

f(x)=\frac{{(x+a)}^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{{(x+b)}^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{{(x+c)}^2}{(c-a)(c-b)}

hozzárendelésű függvény, ahol a, b és c különböző valós számok. Határozzuk meg a függvény értékkészletét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. \(\displaystyle f(x)\) három másodfokú függvény összege, tehát legfeljebb másodfokú függvény. Továbbá \(\displaystyle f(-a)=f(-b)=f(-c)=1\). Ezért \(\displaystyle f(x)\) grafikonja nem parabola: a grafikon csak egyenes lehet, mivel ezek szerint \(\displaystyle f\) legfeljebb elsőfokú. Ekkor viszont ez az egyenes az \(\displaystyle y=1\), azaz \(\displaystyle f(x)=1\). A függvény értékkészlete: { 1 }.

2. megoldás. Közös nevezőre hozva a törteket algebrai átalakítások végén jutunk arra, hogy \(\displaystyle f(x)=1\).

Statisztika:

232 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:155 versenyző.
4 pontot kapott:30 versenyző.
3 pontot kapott:19 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai