A C. 1044. feladat (2010. szeptember)

C. 1044. Az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja M. Az AC átlót hosszabbítsuk meg az A-n túl MC hosszával, a BD átlót B-n túl MD hosszával, a kapott pontok E és F. Bizonyítsuk be, hogy EF párhuzamos a négyszög egyik középvonalával.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle M\)-ből a csúcsokba mutató vektorok legyenek a jelöléseknek megfelelően \(\displaystyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c, \mathbf d\). Így \(\displaystyle \overrightarrow{ME}=\mathbf a - \mathbf c\) és \(\displaystyle \overrightarrow{MF}=\mathbf b - \mathbf d\), ahonnan \(\displaystyle \overrightarrow{FE}=\mathbf a - \mathbf c - \mathbf b + \mathbf d\). Az \(\displaystyle AD\) szakasz felezőpontjába mutató vektor \(\displaystyle \frac 12(\mathbf a + \mathbf d)\), a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontjába mutató vektor \(\displaystyle \frac 12(\mathbf b + \mathbf c)\), így az első felezőpontból a másodikba mutató vektor - melynek tartóegyenese a felezőpontok által meghatározott középvonal egyenese - \(\displaystyle \frac 12(\mathbf a + \mathbf d - \mathbf b - \mathbf c)=\frac 12 \overrightarrow{FE}\).

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	65 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	32 versenyző.
Nem versenyszerű:	18 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai