Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1046. feladat (2010. október)

C. 1046. Jelölje \alpha(n) egy szabályos n-szög belső szögeinek nagyságát. Mekkora az n, ha \alpha(n+3)-\alpha(n)=\alpha(n)-\alpha(n-2)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle \alpha(n)= (n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}\), ezért a feltételt í­gy írhatjuk fel (\(\displaystyle n\ge 3\)):

\(\displaystyle (n+1)\cdot \frac{180^\circ}{n+3}-(n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}=(n-2)\cdot \frac{180^\circ}{n}-(n-4)\cdot \frac{180^\circ}{n-2}. \)

\(\displaystyle 180^\circ\)-kal való egyszerűsí­tés és rendezés után \(\displaystyle \displaystyle{\frac{n+1}{n+3}+\frac{n-4}{n-2}=\frac{2(n-2)}{n}}\), majd \(\displaystyle n(n^2-n-2+n^2-n-12)=2(n-2)(n^2+n-6)\), amiből \(\displaystyle -14n=-16n+24\), ahonnan \(\displaystyle n=12\).


Statisztika:

327 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:278 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai