 |
A C. 1067. feladat (2011. február) |
C. 1067. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
|x-1|+|x+y|=6,
|y-1|+|x+y+1|=4.
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Bontsuk fel az abszolút értékeket a változók lehetséges értékei mellett. Megjegyezzük, hogy ha \(\displaystyle x+y\ge 0\), akkor \(\displaystyle x+y+1>0\), továbbá, ha \(\displaystyle x, \ y\ge 1\), akkor \(\displaystyle x+y>0\). Ezért a különböző felbontások szerint 10 esetünk lesz. A táblázatunkban ++, -+, – jelölje az előjeleit az \(\displaystyle x+y\), \(\displaystyle x+y+1\) kifejezéseknek (ebben a sorrendben). Az egyenletrendszer megoldása után ellenőrizzük \(\displaystyle x+y\) és \(\displaystyle x+y+1\) előjelét.
| \(\displaystyle x\ge 1\) | \(\displaystyle x<1\) | ||
| ++ | \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=10/3\), \(\displaystyle y=1/3\)(!) | \(\displaystyle 1-x+x+y=5\): \(\displaystyle y=5\), \(\displaystyle x+2y=4\): \(\displaystyle x=-6\)(!) | |
| \(\displaystyle y\ge 1\) | -+ | \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle x+2y=4\):\(\displaystyle x=-14/3\), \(\displaystyle y=13/3\) | |
| – | \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle y-1-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-6\), \(\displaystyle y=7\)(!) | ||
| ++ | \(\displaystyle 2x+y=7\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=3\)(!) | \(\displaystyle 1-x+x+y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!), \(\displaystyle y=5\)(!) | |
| \(\displaystyle y< 1\) | -+ | \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=-7\)(!) | \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y+x+y+1=4\): \(\displaystyle x=2\)(!) |
| – | \(\displaystyle x-1-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=10\), \(\displaystyle y=-7\)(!) | \(\displaystyle 1-x-x-y=6\), \(\displaystyle 1-y-x-y-1=4\): \(\displaystyle x=-2\), \(\displaystyle y=-1\) |
Két megoldása van az egyenletrendszernek: \(\displaystyle x_1=-\frac{14}3,\ y_1=\frac{13}3\) és \(\displaystyle x_2=-2,\ y_2=-1\).
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 53 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. februári matematika feladatai