 |
A C. 1067. feladat (2011. február) |
C. 1067. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:
|x-1|+|x+y|=6,
|y-1|+|x+y+1|=4.
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Bontsuk fel az abszolút értékeket a változók lehetséges értékei mellett. Megjegyezzük, hogy ha x+y≥0, akkor x+y+1>0, továbbá, ha x, y≥1, akkor x+y>0. Ezért a különböző felbontások szerint 10 esetünk lesz. A táblázatunkban ++, -+, – jelölje az előjeleit az x+y, x+y+1 kifejezéseknek (ebben a sorrendben). Az egyenletrendszer megoldása után ellenőrizzük x+y és x+y+1 előjelét.
| x≥1 | x<1 | ||
| ++ | 2x+y=7, x+2y=4: x=10/3, y=1/3(!) | 1−x+x+y=5: y=5, x+2y=4: x=−6(!) | |
| y≥1 | -+ | 1−x−x−y=6, x+2y=4:x=−14/3, y=13/3 | |
| – | 1−x−x−y=6, y−1−x−y−1=4: x=−6, y=7(!) | ||
| ++ | 2x+y=7, 1−y+x+y+1=4: x=2, y=3(!) | 1−x+x+y=6, 1−y+x+y+1=4: x=2(!), y=5(!) | |
| y<1 | -+ | x−1−x−y=6, 1−y+x+y+1=4: x=2, y=−7(!) | 1−x−x−y=6, 1−y+x+y+1=4: x=2(!) |
| – | x−1−x−y=6, 1−y−x−y−1=4: x=10, y=−7(!) | 1−x−x−y=6, 1−y−x−y−1=4: x=−2, y=−1 |
Két megoldása van az egyenletrendszernek: x1=−143, y1=133 és x2=−2, y2=−1.
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 53 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. februári matematika feladatai
|
|