A C. 1096. feladat (2011. november)

C. 1096. Egy kocka élének hossza egész szám. Vegyük az élhossz harmadát, az egyik oldallap területének felét és a térfogat hatodát. Igazoljuk, hogy a három szám összege egész.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kocka élének hossza \(\displaystyle n\), ekkor bizonyítandó, hogy \(\displaystyle N=\frac n3 + \frac{n^2}2 + \frac{n^3}6\) egész. Mivel \(\displaystyle 6N=n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\) három, egymást követő természetes szám szorzata (a legkisebb legalább 1, ezért \(\displaystyle 6N\ge 6\)), ezért van köztük páros szám, és van köztük 3-mal osztható is, ezért a szorzat osztható 6-tal, tehát \(\displaystyle N\) egész.

Statisztika:

438 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	357 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai