A C. 1111. feladat (2012. február)

C. 1111. Két kocka összes élének összege osztható 72-vel. Igazoljuk, hogy ekkor a térfogatösszegük osztható 6-tal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A kockák éleinek hossza legyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\). Ekkor az összes élük hossza \(\displaystyle E=12m +12n\) osztható 72-vel, ami szerint \(\displaystyle n+m\) osztható 6-tal. Térfogatösszegük \(\displaystyle S=m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\): mivel olyan szorzat, melynek egyik tényezője 6 többszöröse, ezért \(\displaystyle S\) is osztható 6-tal.

Statisztika:

344 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	228 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai