A C. 1169. feladat (2013. április)

C. 1169. Egy gömb átmérője, egy egyenlő oldalú henger magassága és egy kúp alapkörének átmérője egyaránt d. Mekkora lehet a kúp magassága, ha a három test térfogata valamilyen sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A gömb, a henger és a kúp térfogata rendre \(\displaystyle V_{g}=\frac{\pi}{6}d^3\), \(\displaystyle V_h=2\pi\cdot\left(\frac d2\right)^3=\frac{\pi}{4}d^3\) és \(\displaystyle V_k=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac d2\right)^2\cdot m=\frac{\pi}{12}d^2m\).

Mivel \(\displaystyle \frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{4}\), ezért \(\displaystyle V_g<V_h\). Így három esetet kell megvizsgálnunk. 1. eset: \(\displaystyle V_k<V_g<V_h\); 2. eset: \(\displaystyle V_g<V_h<V_k\); 3. eset: \(\displaystyle V_g<V_k<V_h\).

1. eset:

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}d^3-\frac{\pi}{6}d^3=\frac{\pi}{6}d^3-\frac{\pi}{12}d^2m.\)

Mindkét oldalt \(\displaystyle \frac{12}{d^2\pi}\)-vel szorozva (nyilván \(\displaystyle d\neq0\)) kapjuk, hogy \(\displaystyle 3d-2d=2d-m\), amiből \(\displaystyle m_1=d\) következik.

2. eset:

\(\displaystyle \frac{\pi}{12}d^2m-\frac{\pi}{4}d^3=\frac{\pi}{4}d^3-\frac{\pi}{6}d^3.\)

Mindkét oldalt \(\displaystyle \frac{12}{d^2\pi}\)-vel szorozva kapjuk, hogy \(\displaystyle m-3d=3d-2d\), amiből \(\displaystyle m_2=4d\) következik.

3. eset: \(\displaystyle 2V_k=V_g+V_h\), vagyis \(\displaystyle \frac{2\pi}{12}d^2m=\frac{\pi}{6}d^3+\frac{\pi}{4}d^3=\frac{5\pi}{12}d^3\). Ebből pedig \(\displaystyle \frac{6}{d^2\pi}\)-vel szorozva \(\displaystyle m_3=2,5d\) következik.

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai