Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1177. feladat (2013. szeptember)

C. 1177. Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az 1!+3!+\ldots+(2n-1)! négyzetszám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Ha n=1, akkor az összeg 1, ami négyzetszám. Ha n=2, akkor az összeg 7, ami nem négyzetszám. Ha pedig n\geq3, akkor az összegben az 5!, a 7! és a többi tag egyik tényezője 4, vagyis a harmadik tagtól kezdve minden tag osztható 4-gyel. Így az összeg 4-gyel való osztási maradéka 1!+3!=7 osztási maradéka, ami 3. Viszont egy páratlan négyzetszám 4-gyel osztva 1 maradékot ad: (2k+1)2=4k2+4k+1.

Vagyis kérdéses összeg csak n=1 esetén lesz négyzetszám.

2. megoldás. Ha n=1, akkor a kifejezés értéke 1!=1, vagyis négyzetszám. Ha n=2, akkor a kifejezés értéke 1!+3!=7, ami nem négyzetszám. Ha n>2, akkor a (2n-1)! utolsó jegye 0, vagyis az 1!+3!+...+(2n+1)! utolsó jegye ekkor mindig 7 lesz. A négyzetszámok végződései: 0, 1, 4, 9, 6, 5. Vagyis nem lehet négyzetszám. Az egyedüli megoldás, ha n=1.


Statisztika:

300 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:173 versenyző.
4 pontot kapott:81 versenyző.
3 pontot kapott:24 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai