Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1184. feladat (2013. október)

C. 1184. Igazoljuk, hogy 52013.21008+31008.22013 osztható 19-cel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Egy lehetséges átalakítás:

\(\displaystyle 5^{2013}\cdot2^{1008}+3^{1008}\cdot2^{2013}=5\cdot2^{2}\cdot5^{2012}\cdot2^{1006}+3^{2}\cdot2\cdot3^{1006}\cdot2^{2012}=\)

\(\displaystyle =20\cdot50^{1006}+18\cdot12^{1006}=19\cdot50^{1006}+19\cdot12^{1006}+50^{1006}-12^{1006}.\)

Az összeg első két tagja osztható 19-cel. Tudjuk, hogy \(\displaystyle 50^{1006}-12^{1006}\) osztható \(\displaystyle (50-12)\)-vel, azaz \(\displaystyle 2\cdot19\)-cel. Ezzel az állítást igazoltuk.


Statisztika:

216 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:147 versenyző.
4 pontot kapott:19 versenyző.
3 pontot kapott:19 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai