A C. 1215. feladat (2014. február) |
C. 1215. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszögbe írható kör egységnyi sugarú, és az egyik befogó mérőszáma racionális, akkor a másik két oldalé is az.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írható kör középpontja legyen \(\displaystyle O\), az oldalak szokás szerint \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), az érintési pontok pedig \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Mivel egy kör középpontjából húzott sugár merőleges az érintőre, így egyrészt \(\displaystyle OE=OD=1\), másrészt \(\displaystyle ODC\angle=OEC\angle=90^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle DCE\angle\) is derékszög, így \(\displaystyle CEOD\) olyan téglalap, melynek szomszédos oldalai egyenlők, tehát négyzet. Így \(\displaystyle CE=CD=1\), amiből \(\displaystyle EA=b-1\) és \(\displaystyle DB=a-1\) következik. Mivel külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak, ezért \(\displaystyle FA=EA=b-1\) és \(\displaystyle FB=DB=a-1\).
Legyen az \(\displaystyle a\) racionális (ezt szimmetria okokból feltehetjük). Mivel \(\displaystyle c=a-1+b-1\), amiből \(\displaystyle c-b=a-2\), és ha \(\displaystyle a\) racionális, akkor \(\displaystyle a-2\) is az, ezért \(\displaystyle c-b\) is racionális. Felírva a Pitagorasz tételt: \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\), amiből \(\displaystyle a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)\). Mivel \(\displaystyle c>b\), ezért ebből \(\displaystyle c+b=\frac{a^2}{c-b}\) következik. Mivel \(\displaystyle a\) racionális, ezért \(\displaystyle a^2\) is az, és mivel \(\displaystyle c-b\) is az, így a kettő hányadosa, \(\displaystyle c+b\) is az. Mivel \(\displaystyle c=\frac{(c-b)+(c+b)}{2}\), ahol a nevezőben két racionális szám összege áll, így \(\displaystyle c\) is racionális. Végül \(\displaystyle b=c-(c-b)\) miatt \(\displaystyle b\) két racionális szám összege, így maga is racionális.
Statisztika:
43 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bajnok Anna, Bálint Karola, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Erdei Ákos, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kácsor Szabolcs, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Nguyen Anh Tuan, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Schefler Barna, Semegi Judit, Szabó 157 Dániel, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szűcs Miklós, Tarnay Mátyás, Tekeli Miklós, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Várkonyi Ádám, Wolkensdorfer Zsófia, Zsiros Ádám. 4 pontot kapott: Chourfi Abdel Karim. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2014. februári matematika feladatai