A C. 1225. feladat (2014. április)

C. 1225. Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a kerülete, melynek alapja 6 cm, a beírt körének sugara pedig 1,5 cm?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög magasságát jelölje \(\displaystyle m\), szárait \(\displaystyle a\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületét \(\displaystyle k\). Mivel a háromszög egyenlő szárú, így a magasssága egyben szimmetriatengely is, tehát két egybevágó derékszögű háromszögre osztja a háromszöget. Írjuk fel az egyikre a Pitagorasz tételt: \(\displaystyle 3^2+m^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=\sqrt{9+m^2}\).

A háromszög területének kétszeresét kétféleképpen felírva:

\(\displaystyle r\cdot k=6\cdot m,\)

\(\displaystyle 1,5\cdot(6+2\sqrt{9+m^2})=6m,\)

amit rendezve, majd négyzetre emelve:

\(\displaystyle 3\sqrt{9+m^2}=6m-9,\)

\(\displaystyle 9(9+m^2)=36m^2+81-108m,\)

amiből

\(\displaystyle 0=27m^2-108m=27m(m-4).\)

Ennek egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle m=4\), ami az eredeti egyenletet is kielégíti. Ekkor pedig \(\displaystyle k=6+2\sqrt{9+4^2}=6+2\cdot5=16\).

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	69 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai