A C. 1226. feladat (2014. április)

C. 1226. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:

$\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet $\displaystyle x$-re másodfokú:

$\displaystyle x^2+(2y-2)x+(-3y^2-10y+20)=0.$

Ebből

$\displaystyle x=\frac{-2y+2\pm\sqrt{4y^2+4-8y+12y^2+40y-80}}{2}=$

$\displaystyle -y+1\pm\sqrt{4y^2+8y-19}=-y+1\pm\sqrt{(2y+2)^2-23}.$

A négyzetszámok sorozatát egy darabig felírva: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Mivel a két utolsó tag között 23 a különbség, ezért a sorozat további része már nem érdekes. Megvizsgálva, ebben a részben semelyik másik két tag között nem lesz 23 a különbség. Az egyetlen megoldás tehát a $\displaystyle (2y+2)^2=144$, ekkor $\displaystyle 2y+2=\pm12$. Ebből $\displaystyle y=5$ vagy $\displaystyle y=-7$ következik. Az első esetben $\displaystyle x=-4\pm11$, vagyis $\displaystyle x=7$ vagy $\displaystyle x=-15$. A második esetben pedig $\displaystyle x=8\pm11$, vagyis $\displaystyle x=19$ vagy $\displaystyle x=-3$.

A megoldások: $\displaystyle x_1=7$, $\displaystyle y_1=5$; $\displaystyle x_2=-15$, $\displaystyle y_2=5$; $\displaystyle =x_3=19$, $\displaystyle y_3=-7$; $\displaystyle x_4=-3$, $\displaystyle y_4=-7$.

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai