A C. 1264. feladat (2014. december)

C. 1264. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$ csúcsából induló belső szögfelező a szemközti oldalt a $\displaystyle P$ pontban, az $\displaystyle AP$ szakasz felezőmerőlegese az $\displaystyle AC$ oldalt a $\displaystyle Q$ pontban metszi. Fejezzük ki az $\displaystyle ABPQ$ négyszög területét az $\displaystyle AB$, $\displaystyle AQ$ szakaszok és a $\displaystyle BAQ$ szög ismeretében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle Q$ rajta van az $\displaystyle AP$ szakasz felező merőlegesén, így az $\displaystyle AQP$ háromszög egyenlőszárú. Azt is tudjuk, hogy $\displaystyle AP$ felezi az $\displaystyle \alpha=CAB\angle$-et. Ezekből következik, hogy $\displaystyle APQ\angle = PAQ\angle= BAP\angle$. Tehát az $\displaystyle APQ\angle$ és a $\displaystyle BAP\angle$ párhuzamos szárú szögek kell, hogy legyenek, vagyis $\displaystyle AB||QP$, az $\displaystyle ABPQ$ négyszög trapéz. Mivel $\displaystyle QP=AQ$ és $\displaystyle \sin\alpha=\frac{m}{AQ}$, amiből $\displaystyle m=AQ\sin\alpha$, így

$\displaystyle t_{ABPQ}=\frac{(AB+AQ)\cdot AQ\sin\alpha}{2}.$

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai