A C. 1294. feladat (2015. május)

C. 1294. Fejezzük ki a $\displaystyle \frac{13}{38}$ törtet $\displaystyle \frac 1m+\frac 1n$ alakban, ahol $\displaystyle m$ és $\displaystyle n$ pozitív egész számok.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle \frac 1m+\frac 1n= \frac{m+n}{mn}= \frac{13}{38}$, azért $\displaystyle m+n=13a$ és $\displaystyle mn=38a=2\cdot19\cdot a$, ahol $\displaystyle a$ pozitív egész szám. Mivel 19 prímszám, ezért vagy az $\displaystyle n$-nek, vagy az $\displaystyle m$-nek osztója. Legyen tehát $\displaystyle n=19b$, ahol $\displaystyle b$ pozitív egész szám.

Mivel $\displaystyle \frac{13}{38}-\frac{1}{19}\approx0,289>0,25=\frac14$, így $\displaystyle \frac{13}{38}-\frac{1}{19b}\geq\frac{13}{38}-\frac{1}{19}>0,25=\frac14$ is teljesül. Tehát $\displaystyle \frac 1m$ csak $\displaystyle \frac12$ vagy $\displaystyle \frac13$ lehet. Mivel $\displaystyle \frac{13}{38}-\frac12<0$, csak az $\displaystyle \frac13$ lehet jó. Valóban:

$\displaystyle \frac{13}{38}-\frac13=\frac{13\cdot3-38}{38\cdot3}=\frac{1}{114},$

vagyis

$\displaystyle \frac{13}{38}=\frac13+\frac{1}{114}.$

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Bindics Boldizsár, Bukor Benedek, Csahók Tímea, Csapó Márton, Fekete Balázs Attila, Glasznova Maja, Hunyadi Marcell, Jakus Balázs István, Kamenár Gyöngyvér, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Kovács Kristóf, Lajkó Áron, Mályusz Attila, Marozsák Tóbiás , Márton Dénes, Marton Fruzsina, Mihálykó Péter, Mikulás Zsófia, Nagy 911 Viktória, Németh 417 Tamás, Ondrik Ákos, Páhoki Tamás, Schrettner Jakab, Sebastian Fodor, Souly Alexandra, Szajbély Sámuel, Szécsi Adél Lilla, Sziklai Dávid, Takács Péter György, Tatai Mihály, Temesvári Bence, Tevesz Judit, Tóth Tamás, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai