Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1430. feladat (2017. szeptember)

C. 1430. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) természetes számokat, amelyekre \(\displaystyle \frac{20}{x}+\frac{17}{y}=1\) és \(\displaystyle xy\) négyzetszám.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Feltétel: \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y ≠ 0\).

\(\displaystyle xy\)–nal szorozva és rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle (x – 20)(y – 17) = 20\cdot17.\)

Ebből \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) lehetséges értékei:

\(\displaystyle x-20\) 1 2 4 5 10 17 20 34 68 85 170 340
\(\displaystyle y-17\) 340 170 85 68 34 20 17 10 5 4 2 1
\(\displaystyle x\) 21 22 24 25 30 37 40 54 88 105 190 360
\(\displaystyle y\) 357 187 102 85 51 37 34 27 22 21 19 18

Két esetben lesz \(\displaystyle xy\) teljes négyzet: \(\displaystyle x = 37\) és \(\displaystyle y = 37\), ekkor \(\displaystyle xy = 372\); és \(\displaystyle x = 88\) és \(\displaystyle y = 22\), ekkor \(\displaystyle xy = 442\).

2. megoldás. Mivel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) természetes számok, az egyenletből látható, hogy \(\displaystyle x≠0\), \(\displaystyle y≠0\), valamint \(\displaystyle x>20\) és \(\displaystyle y>17\), különben a másik szám nem lehetne pozitív.

Mindkét oldalt \(\displaystyle xy\)-nal megszorozva és rendezve:

\(\displaystyle 20y+17x=xy,\)

\(\displaystyle 17x=(x-20)y.\)

Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve:

\(\displaystyle y=\frac{17x}{x-20}.\)

Mivel \(\displaystyle y≥18\), ezért \(\displaystyle \frac{17x}{x-20}≥18\), amiből (\(\displaystyle x>20\) miatt) \(\displaystyle x≤360\) következik. Célunk, hogy az \(\displaystyle xy=\frac{17}{x-20}x^2\) szorzat négyzetszám legyen. Ez akkor lesz négyzetszám, ha \(\displaystyle \frac{17}{x-20}\) négyzetszám, vagy ha reciproka, \(\displaystyle \frac{x-20}{17}\) négyzetszám és osztója \(\displaystyle x^2\)-nek.

Mivel 17 prímszám, ezért az első esetben csak \(\displaystyle \frac{17}{x-20}=1\) lehet a megoldás. Ekkor \(\displaystyle x=y=37\).

A második esetben legyen \(\displaystyle \frac{x-20}{17}=k^2\), ahol \(\displaystyle k≥2\) természetes szám. (A \(\displaystyle k=1\) az első esetet jelenti.) Akkor kapunk megoldást, ha \(\displaystyle k\) osztója \(\displaystyle x\)-nek, hiszen akkor \(\displaystyle \frac{x^2}{k^2}\) négyzetszám (\(\displaystyle k<x\)).

\(\displaystyle x=17k^2+20≤360.\)

Ebből \(\displaystyle 2≤k≤4<\sqrt{20}\) adódik.

\(\displaystyle \frac xk=\frac{17k^2+20}{k}=17k+\frac{20}{k}.\)

Ez akkor lesz egész szám, ha \(\displaystyle k\) értéke 2 vagy 4.

Ha \(\displaystyle k=2\), akkor \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\), \(\displaystyle xy=1936=44^2\).

Ha \(\displaystyle k=4\), akkor \(\displaystyle x=292\), de \(\displaystyle y\) nem lesz egész szám.

Tehát két megoldáspárt kaptunk: \(\displaystyle x=y=37\) és \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\). Mindkettő kielégíti az adott egyenletet és \(\displaystyle xy\) értéke négyzetszám.


Statisztika:

259 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:106 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:29 versenyző.
1 pontot kapott:53 versenyző.
0 pontot kapott:18 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai