Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1440. feladat (2017. október)

C. 1440. Az \(\displaystyle ABCDA'B'C'D'\) egységkockában legyenek \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle D'\) és \(\displaystyle B\) pontok merőleges vetületei a \(\displaystyle B'D\) testátlóra. Határozzuk meg a \(\displaystyle BND'M\) négyszög területét.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle DD’=BB’=1\) és \(\displaystyle DB=D’B’=\sqrt2\). Ebből \(\displaystyle DB’=\sqrt{1^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt 3\).

A derékszögű \(\displaystyle DB’D’\) háromszögben használjuk a befogó tételt: \(\displaystyle DD’^2=DM\cdot DB'\), amiből \(\displaystyle DM=\frac{DD’^2}{DB'}=\frac{1}{\sqrt3}= \frac{\sqrt3}{3}\). A szimmetria miatt \(\displaystyle B’N=\frac{\sqrt3}{3}\).

\(\displaystyle MN=DB’-DM-B’N=\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{B'D}{3}.\)

\(\displaystyle T_{BND'M}=2\cdot T_{ND'M}= 2\cdot\frac13 T_{B'D'D}= \frac23\cdot\frac{1\cdot\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{3}.\)


Statisztika:

A C. 1440. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai