A C. 1442. feladat (2017. november)

C. 1442. Egy háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalaira teljesül a következő összefüggés:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}. \)

Igazoljuk, hogy ekkor \(\displaystyle r\cdot R=\frac 12\), ahol \(\displaystyle r\) a háromszög beírható, \(\displaystyle R\) pedig a köré írható körének sugara.

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Felsőgöd)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az adott összefüggést jobb oldalon közös nevezőre hozva és átrendezve:

\(\displaystyle 1=\frac{c+a+b}{abc},\)

\(\displaystyle abc=a+b+c.\)

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az \(\displaystyle AFO\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \frac c2=R\cdot\sin γ\), vagyis \(\displaystyle \sin γ=\frac{c}{2R}\). Ezt behelyettesítve a háromszög területképletébe:

\(\displaystyle T=\frac{ab\cdot\sin γ}{2}=\frac{abc}{4R}.\)

1. ábra

A háromszög beírt körének középpontját a csúcsokkal összekötve három részháromszöget kapunk (2. ábra). Ezek területének összege a háromszög területe:

\(\displaystyle T=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}.\)

2. ábra

A két területképletből:

\(\displaystyle \frac{abc}{4R}=\frac{r(a+b+c)}{2}.\)

Felhasználva az adott összefüggésből kapott egyenlőséget leoszthatunk \(\displaystyle abc=a+b+c\neq0\)-val: \(\displaystyle \frac{1}{4R}=\frac r2\), vagyis \(\displaystyle rR=\frac12\).

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	118 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai