A C. 1442. feladat (2017. november)

C. 1442. Egy háromszög $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ oldalaira teljesül a következő összefüggés:

$\displaystyle 1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}.$

Igazoljuk, hogy ekkor $\displaystyle r\cdot R=\frac 12$, ahol $\displaystyle r$ a háromszög beírható, $\displaystyle R$ pedig a köré írható körének sugara.

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Felsőgöd)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az adott összefüggést jobb oldalon közös nevezőre hozva és átrendezve:

$\displaystyle 1=\frac{c+a+b}{abc},$

$\displaystyle abc=a+b+c.$

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Az $\displaystyle AFO$ derékszögű háromszögben $\displaystyle \frac c2=R\cdot\sin γ$, vagyis $\displaystyle \sin γ=\frac{c}{2R}$. Ezt behelyettesítve a háromszög területképletébe:

$\displaystyle T=\frac{ab\cdot\sin γ}{2}=\frac{abc}{4R}.$

1. ábra

A háromszög beírt körének középpontját a csúcsokkal összekötve három részháromszöget kapunk (2. ábra). Ezek területének összege a háromszög területe:

$\displaystyle T=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}.$

2. ábra

A két területképletből:

$\displaystyle \frac{abc}{4R}=\frac{r(a+b+c)}{2}.$

Felhasználva az adott összefüggésből kapott egyenlőséget leoszthatunk $\displaystyle abc=a+b+c\neq0$-val: $\displaystyle \frac{1}{4R}=\frac r2$, vagyis $\displaystyle rR=\frac12$.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	118 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai