A C. 1443. feladat (2017. november)

C. 1443. Hányféleképpen írható föl $\displaystyle 2017^3$ egymást követő pozitív páratlan számok összegeként?

Hommer László (Kemence) ötlete alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle 2017^3$ páratlan szám, így csak páratlan számú, egymást követő páratlan szám összege lehet. Ezek között van középső, legyen ez $\displaystyle a_k$. Így $\displaystyle 2017^3=...+(a_k-4)+(a_k-2)+a_k+(a_k+2)+(a_k+4)+...,$ ahol $\displaystyle a_k$-tól balra és jobbra is $\displaystyle n$ db páratlan szám áll az összegben. Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle 2017^3=(2n+1)\cdot a_k$, vagyis $\displaystyle a_k$ és $\displaystyle 2n+1$ a $\displaystyle 2017^3$ osztói.

$\displaystyle 2017^3$ osztói: $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2017$, $\displaystyle 2017^2$, $\displaystyle 2017^3$.

Ha $\displaystyle 2n+1=1$ és $\displaystyle a_k=2017^3$, akkor nincs összeg.

Ha $\displaystyle 2n+1=2017^3$ és $\displaystyle a_k= 1$, akkor $\displaystyle a_k$ bal oldalán negatív számok állnak.

Ha $\displaystyle 2n+1=2017^2$ és $\displaystyle a_k=2017$, akkor $\displaystyle a_k$ bal oldalán negatív számok is állnak, hiszen $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 2015$-ig a páratlan számok száma $\displaystyle \frac{2016}{2}$ és

$\displaystyle \frac{2016}{2}<n=\frac{2017^2-1}{2}=\frac{2018\cdot2016}{2}.$

Ha $\displaystyle 2n+1=2017$ és $\displaystyle a_k=2017^2$, akkor a páratlan számokból álló összeg minden tagja pozitív, mert most 1-től ($\displaystyle 2017^2-2$)-ig $\displaystyle \frac{2017^2-1}{2}$ páratlan szám van, és $\displaystyle a_k$-tól balra csak $\displaystyle \frac{2016}{2}$ tagja áll az összegnek, és mint láttuk $\displaystyle \frac{2016}{2}<\frac{2017^2-1}{2}$.

Tehát csak egyféleképpen írható fel $\displaystyle 2017^3$ egymást követő pozitív páratlan számok összegeként.

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai