A C. 1443. feladat (2017. november)

C. 1443. Hányféleképpen írható föl \(\displaystyle 2017^3\) egymást követő pozitív páratlan számok összegeként?

Hommer László (Kemence) ötlete alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle 2017^3\) páratlan szám, így csak páratlan számú, egymást követő páratlan szám összege lehet. Ezek között van középső, legyen ez \(\displaystyle a_k\). Így \(\displaystyle 2017^3=...+(a_k-4)+(a_k-2)+a_k+(a_k+2)+(a_k+4)+...,\) ahol \(\displaystyle a_k\)-tól balra és jobbra is \(\displaystyle n\) db páratlan szám áll az összegben. Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 2017^3=(2n+1)\cdot a_k\), vagyis \(\displaystyle a_k\) és \(\displaystyle 2n+1\) a \(\displaystyle 2017^3\) osztói.

\(\displaystyle 2017^3\) osztói: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2017\), \(\displaystyle 2017^2\), \(\displaystyle 2017^3\).

Ha \(\displaystyle 2n+1=1\) és \(\displaystyle a_k=2017^3\), akkor nincs összeg.

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017^3\) és \(\displaystyle a_k= 1\), akkor \(\displaystyle a_k\) bal oldalán negatív számok állnak.

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017^2\) és \(\displaystyle a_k=2017\), akkor \(\displaystyle a_k\) bal oldalán negatív számok is állnak, hiszen \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2015\)-ig a páratlan számok száma \(\displaystyle \frac{2016}{2}\) és

\(\displaystyle \frac{2016}{2}<n=\frac{2017^2-1}{2}=\frac{2018\cdot2016}{2}.\)

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017\) és \(\displaystyle a_k=2017^2\), akkor a páratlan számokból álló összeg minden tagja pozitív, mert most 1-től (\(\displaystyle 2017^2-2\))-ig \(\displaystyle \frac{2017^2-1}{2}\) páratlan szám van, és \(\displaystyle a_k\)-tól balra csak \(\displaystyle \frac{2016}{2}\) tagja áll az összegnek, és mint láttuk \(\displaystyle \frac{2016}{2}<\frac{2017^2-1}{2}\).

Tehát csak egyféleképpen írható fel \(\displaystyle 2017^3\) egymást követő pozitív páratlan számok összegeként.

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai