A C. 1444. feladat (2017. november)

C. 1444. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:

$\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x\le 96.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A polinom első két tagja $\displaystyle (x^4-4x^3)$, azt sejteti, hogy bal oldalon $\displaystyle (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ kialakítható. Így az egyenlőtlenségben a szükséges konstansokat mindkét oldalhoz hozzáadva:

$\displaystyle (x-1)^4+2x^2-4x+2≤96+1+2.$

A bal oldalon kimaradó tagokat kiemelés után teljes négyzetté alakítva:

$\displaystyle 2x^2-4x+2=2(x-1)^2.$

Ezt visszaírva és balra rendezve:

$\displaystyle (x-1)^4+2(x-1)^2-99≤0.$

Legyen $\displaystyle y=(x-1)^2$, ekkor $\displaystyle y^2=(x-1)^4$ és $\displaystyle 0≤y$. Az új változót beírva másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:

$\displaystyle y^2+2y-99≤0.$

Az egyenlőség két megoldása $\displaystyle y_1=-11$ és $\displaystyle y_2=9$. Mivel $\displaystyle 0≤y$, így az egyenlőtlenségünk megoldása: $\displaystyle 0≤y≤9$. Az $\displaystyle y$ értékét visszahelyettesítve:

$\displaystyle 0≤(x-1)^2≤9,$

vagyis az $\displaystyle (x-1)^2≤9$ egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

$\displaystyle |x-1|≤3,$

$\displaystyle -3≤x-1≤3.$

Tehát a megoldás $\displaystyle -2≤x≤4$, vagy $\displaystyle x\in[-2;4]$.

Statisztika:

206 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	113 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai