 |
A C. 1444. feladat (2017. november) |
C. 1444. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x\le 96. \)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A polinom első két tagja \(\displaystyle (x^4-4x^3)\), azt sejteti, hogy bal oldalon \(\displaystyle (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\) kialakítható. Így az egyenlőtlenségben a szükséges konstansokat mindkét oldalhoz hozzáadva:
\(\displaystyle (x-1)^4+2x^2-4x+2≤96+1+2.\)
A bal oldalon kimaradó tagokat kiemelés után teljes négyzetté alakítva:
\(\displaystyle 2x^2-4x+2=2(x-1)^2.\)
Ezt visszaírva és balra rendezve:
\(\displaystyle (x-1)^4+2(x-1)^2-99≤0.\)
Legyen \(\displaystyle y=(x-1)^2\), ekkor \(\displaystyle y^2=(x-1)^4\) és \(\displaystyle 0≤y\). Az új változót beírva másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:
\(\displaystyle y^2+2y-99≤0.\)
Az egyenlőség két megoldása \(\displaystyle y_1=-11\) és \(\displaystyle y_2=9\). Mivel \(\displaystyle 0≤y\), így az egyenlőtlenségünk megoldása: \(\displaystyle 0≤y≤9\). Az \(\displaystyle y\) értékét visszahelyettesítve:
\(\displaystyle 0≤(x-1)^2≤9,\)
vagyis az \(\displaystyle (x-1)^2≤9\) egyenlőtlenséget kell megoldanunk:
\(\displaystyle |x-1|≤3,\)
\(\displaystyle -3≤x-1≤3.\)
Tehát a megoldás \(\displaystyle -2≤x≤4\), vagy \(\displaystyle x\in[-2;4]\).
Statisztika:
206 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 113 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai