Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1459. feladat (2018. január)

C. 1459. Tükrözzük az \(\displaystyle y=x^2\) egyenletű normál parabolát az \(\displaystyle F\left(0;\frac 14\right)\) pontra. Mekkora szögben metszi egymást a két parabola?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle y=x^2\) parabolát a \(\displaystyle \left(0;\frac14\right)\) pontra tükrözve az \(\displaystyle y=-x^2+\frac12\) parabolát kapjuk.

A metszéspontok \(\displaystyle x\) koordinátáit az \(\displaystyle x^2=-x^2+\frac12\) egyenletből kapjuk. Rendezve: \(\displaystyle x^2=\frac14\), amiből \(\displaystyle x_1=\frac12\), \(\displaystyle x_2=-\frac12\). Így a metszéspontok koordinátái: \(\displaystyle M\left(\frac12;\frac14\right)\) és \(\displaystyle N\left(-\frac12;\frac14\right)\).

Ha meghatározzuk az \(\displaystyle M\) pontban az \(\displaystyle y=x^2\) parabola érintőjének \(\displaystyle φ\) irányszögét, akkor a szimmetria miatt az érintők által bezárt szög az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontban is \(\displaystyle 2φ\) lesz.

Legyen a keresett érintő egyenlete: \(\displaystyle y=mx+b\). Mivel átmegy az \(\displaystyle M\left(\frac12;\frac14\right)\) ponton, ezért egyenlete \(\displaystyle \frac14=\frac12 m+b\), amiből \(\displaystyle b=-\frac12 m+\frac14\). Ezt visszahelyettesítve:

\(\displaystyle y=mx-\frac12 m+\frac14.\)

Ha ez érintője az \(\displaystyle y=x^2\) parabolának, akkor az \(\displaystyle x^2=mx-\frac12 m+\frac14\) másodfokú egyenletnek csak egy megoldása van. Rendezve: \(\displaystyle x^2- mx+\frac12 m-\frac14=0\). Pontosan akkor van egy megoldása, ha a diszkrimináns értéke nulla: \(\displaystyle D=m^2-2m+1=0\), vagyis \(\displaystyle (m-1)^2=0\). Tehát az érintő meredeksége \(\displaystyle m=1\).

\(\displaystyle \tgφ=1\), vagyis az irányszög \(\displaystyle φ=45°\). Az érintők által, vagyis a két parabola által bezárt szög \(\displaystyle 2φ=90°\).


Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:32 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai