A C. 1494. feladat (2018. szeptember)

C. 1494. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb ikerprímek, akkor számtani közepük osztható \(\displaystyle 6\)-tal, a szorzatukat \(\displaystyle 1\)-gyel növelve pedig \(\displaystyle 36\)-tal osztható számot kapunk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle p<q\). Mivel ikerprímek, így \(\displaystyle q=p+2\). Egyetlen páros prímszám van, tehát csak az lehetséges, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) is páratlan.

\(\displaystyle p>3\) és prímszám, ezért nem osztható hárommal. Lehetne \(\displaystyle p=3k-2\) alakú, ahol \(\displaystyle k>2\) egész, de ekkor \(\displaystyle q=p+2=3k\) lenne, ami hárommal osztható, így nem lehet prím.

Ezért \(\displaystyle p=3k-1\) alakú szám, és \(\displaystyle q=p+2=3k+1\) alakú. Mindkettő páratlan szám, így \(\displaystyle 3k\) páros, tehát \(\displaystyle k\) is páros szám. A számtani közepük: \(\displaystyle \frac{p+q}{2}=\frac{3k-1+3k+1}{2}=3k\), ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal és páros, tehát osztható \(\displaystyle 6\)-tal.

Szorzatuk 1-gyel növelve: \(\displaystyle (3k-1)(3k+1)+1=9k^2-1+1=9k^2\). Mivel \(\displaystyle k\) páros szám, ezért négyzete osztható \(\displaystyle 4\)-gyel, vagyis \(\displaystyle 9k^2\) osztható \(\displaystyle 36\)-tal.

Statisztika:

366 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	227 versenyző.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	18 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai