Problem C. 1496. (September 2018)

C. 1496. Disks of radii 1, 2 and 3 cm are drawn about the vertices of a triangle. The three disks pairwise touch each other from outside. What is the area in the triangle that is not covered by the disks?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha két kör érinti egymást, akkor az érintési pont a körök középpontját összekötő szakaszon van. Vagyis az érintési pontok az oldalakon helyezkednek el. Használjuk az ábra jelöléseit.

A körök sugarai: \(\displaystyle r_A=1\) cm, \(\displaystyle r_B=2\) cm, \(\displaystyle r_C=3\) cm. A háromszög oldalai tehát: \(\displaystyle a=2+3=5\) cm, \(\displaystyle b=1+3=4\) cm, \(\displaystyle c=1+2=3\) cm. A háromszög derékszögű, mivel \(\displaystyle 5^2=4^2+3^2\).

\(\displaystyle \sin β=4/5\), amiből \(\displaystyle β≈53,13°\), és így \(\displaystyle \gamma=90^{\circ}-\beta=36,87°\).

A körcikkek területe: \(\displaystyle T_A=\frac{π\cdot r_A^2}4=\frac π4≈0,7854\) cm\(\displaystyle ^2\), \(\displaystyle T_B=\frac{π\cdot r_B^2\cdot 53,13°}{360°}≈1,8546\) cm\(\displaystyle ^2\), \(\displaystyle T_C=\frac{π\cdot r_C^2\cdot 36,87°}{360°}≈2,8958\) cm\(\displaystyle ^2\). A háromszög területe: \(\displaystyle T_ABC=\frac{bc}2=6\) cm\(\displaystyle ^2\).

A keresett terület: \(\displaystyle T=T_ABC-T_A-T_B-T_C≈0,4642\) cm\(\displaystyle ^2\).

Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:	57 students.
4 points:	23 students.
3 points:	18 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018