 |
A C. 1504. feladat (2018. november) |
C. 1504. Egy \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázat celláit kitöltjük az ábra szerint. Egy lépésben megcserélhetünk egymás között \(\displaystyle n\) darab olyan számot, melyek legnagyobb közös osztója \(\displaystyle n\), úgy, hogy egyikük sem marad a helyén. Elérhető-e ilyen lépésekkel, hogy az eredeti táblázathoz képest az egyik, illetve a másik átlóra való tükrözés szerinti elrendezésbe kerüljenek a számok?
| 1 | 3 | 4 |
| 6 | 8 | 9 |
| 10 | 12 | 20 |
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először vizsgáljuk meg, hogy elérhető-e az az elrendezés, amit a táblázat \(\displaystyle 4,8,10\) átlóra tükrözésével kapunk:
| 20 | 9 | 4 |
| 12 | 8 | 3 |
| 10 | 6 | 1 |
A szabályok alapján vegyük észre, hogy az \(\displaystyle 1\)-et nem tudjuk mozgatni, hiszen az \(\displaystyle 1\)-nek bármely más számmal (számokkal) \(\displaystyle 1\) a legnagyobb közös osztója, vagyis ilyenkor csak egy számot mozgathatnánk, az \(\displaystyle 1\)-et, ami ellentmondás.
Ebben az esetben az \(\displaystyle 1\)-nek át kellene kerülnie a szemközti csúcsba, így a kívánt elrendezés nem érhető el.
Most vizsgáljuk meg, elérhető-e az az elrendezés, amit úgy kapunk, ha a táblázatot az \(\displaystyle 1,8,20\) átlóra tükrözzük:
| 1 | 6 | 10 |
| 3 | 8 | 12 |
| 4 | 9 | 20 |
Ebben az esetben a kívánt elrendezés elérhető, például a következő lépésekkel:
| 1 | 3 | 4 |
| 6 | 8 | 9 |
| 10 | 12 | 20 |
\(\displaystyle ~\)
| 1 | 3 | 10 |
| 6 | 8 | 9 |
| 4 | 12 | 20 |
\(\displaystyle ~\)
| 1 | 9 | 10 |
| 6 | 8 | 12 |
| 4 | 3 | 20 |
\(\displaystyle ~\)
| 1 | 6 | 10 |
| 3 | 8 | 12 |
| 4 | 9 | 20 |
Tehát először végrehajtunk egy \(\displaystyle 4\leftrightarrow 10\) cserét, majd \(\displaystyle 3\to 12\to 9\to 3\) ciklikus cserét, végül a \(\displaystyle 3\to 6\to 9\to 3\) ciklikus cserét.
Statisztika:
208 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 138 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 5 dolgozat.
A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai