 |
A C. 1516. feladat (2018. december) |
C. 1516. Az \(\displaystyle O(4;-2)\) közepű, \(\displaystyle r=5\sqrt{3}\) sugarú körhöz érintőt húzunk a koordináta-rendszer \(\displaystyle P(16;7)\) pontjából. Az érintési pont merőleges vetületét az \(\displaystyle OP\) szakaszon jelölje \(\displaystyle P'\). Határozzuk meg \(\displaystyle P'\) koordinátáit.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
1. Megoldásvázlat. Végiggondoljuk, hogyan szerkesztenénk meg a \(\displaystyle P'\) pontot, és a szerkesztési lépéseket ültetjük át a koordinátageometria nyelvére. Azaz először meghatározzuk \(\displaystyle OP\) Thalesz-körének egyenletét: \(\displaystyle (x-10)^2+(y-2,5)^2=7,5^2\). Ennek és az eredeti körnek a metszéspontjai az érintési pontok.
Az eredeti kör egyenlete: \(\displaystyle (x-4)^2+(y+2)^2=75\), a metszéspontok \(\displaystyle C(8-3\sqrt2,1+4\sqrt2)\) és \(\displaystyle D(8+3\sqrt2,1-4\sqrt2)\). Ennek a 2 pontnak ugyanaz a merőleges vetülete \(\displaystyle OP\)-re, hiszen bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Ez a merőleges vetület pedig nem más, mint az \(\displaystyle OP\) egyenes és a két érintési pont által meghatározott egyenes metszéspontja. Vagy egyszerűbben: a két metszéspont által meghatározott szakasz, \(\displaystyle CD\) felezőpontja, így koordinátái \(\displaystyle P'(8,1)\).
2. Megoldás.
Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle P'\) pont nem más, mint \(\displaystyle P\) képe az adott körre vonatkozó inverziónál, azaz
\(\displaystyle OP \cdot OP'=r^2.\)
Ide a megadott értékeket behelyettesítve kapjuk (\(\displaystyle OP\) meghatározásához a Pitagorasz-tételt használva), hogy
\(\displaystyle 15 \cdot OP'=75,\)
azaz
\(\displaystyle OP'=5.\)
Legyenek \(\displaystyle P'\) koordinátái \(\displaystyle (x',y')\). Ekkor
\(\displaystyle \sqrt{(x'-4)^2+(y'+2)^2}=5,\)
azaz
\(\displaystyle (x'-4)^2+(y'+2)^2=25. \)
Továbbá az inverzió definíciója szerint \(\displaystyle P'\) rajta van az \(\displaystyle OP\) félegyenesen, azaz koordinátái kielegítik az \(\displaystyle OP\) egyenes egyenletét. Most írjuk fel ennek az egyenesnek az egyenletét:
\(\displaystyle (y+2)(16-4)=(x-4)(7+2),\)
\(\displaystyle 3x-4y-20=0.\)
Ezután ide helyettesítsük be \(\displaystyle P'\) koordinátáit, és rendezzük át az egyenletet:
\(\displaystyle \frac{3x'-20}{4}=y'.\)
Ezt helyettesítsük vissza az \(\displaystyle OP'\)-re felírt egyenletbe:
\(\displaystyle (x'-4)^2+\left(\frac{3x'-12}{4}\right)^2=25,\)
\(\displaystyle \frac{25}{16}(x')^2-\frac{25}{2}x'+25=25,\)
\(\displaystyle \frac{25}{16}(x')^2-\frac{25}{2}x'=0.\)
Ebből
\(\displaystyle x'_{1,2}=0 \text{ és } 8.\)
Mivel \(\displaystyle P'\) rajta van az \(\displaystyle O\) kezdőpontú \(\displaystyle OP\) félegyenesen, így \(\displaystyle x' > 4\), azaz
\(\displaystyle x'=8.\)
Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle y'=1.\)
Tehát a \(\displaystyle P'\) pont koordinátái \(\displaystyle \left(8,1\right).\)
Megjegyzés. Gyorsabban is megkaphatjuk az eredményt: \(\displaystyle OP'=5\) alapján \(\displaystyle P'\) nem más mint az \(\displaystyle OP\) szakasz \(\displaystyle O\)-hoz közelebbi harmadolópontja, és így \(\displaystyle P'=(8,1)\).
Statisztika:
A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai