A C. 1518. feladat (2019. január)

C. 1518. Hány olyan \(\displaystyle 13\)-jegyű pozitív egész szám van, ami csak a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\) számjegyeket tartalmazza, és bármely két szomszédos számjegyének különbsége \(\displaystyle 3\)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Különböztessünk meg két esetet aszerint, hogy milyen számjegy áll az első helyen, azaz a legnagyobb helyiértékű helyen:

1. eset: 3-as vagy 9-es. Ekkor a 2. helyen 6-osnak kell állnia, a 3. helyen ismét állhat 3-as vagy 9-es, a 4. helyen ismét 6-osnak kell lennie, és így tovább... Azaz a páratlanadik helyeken állhat 3-as vagy 9-es, a páros helyeken pedig csak 6-os. Így ebben az esetben \(\displaystyle 2^7=128\) ilyen szám van.

2. eset: 6-os. Ekkor a 2. helyen lehet 3-as vagy 9-es, a 3. helyen újra 6-osnak kell állnia, a 4. helyen állhat 3-as vagy 9-es, és így tovább... Azaz a páratlan helyeken 6-os áll, míg a páros helyeken állhat 3-as vagy 9-es. Így \(\displaystyle 2^6=64\) ilyen szám van ebben az esetben.

Azaz \(\displaystyle 192\) ilyen szám van.

Statisztika:

246 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	69 versenyző.
3 pontot kapott:	47 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai