Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1522. feladat (2019. január)

C. 1522. A pozitív egész számokat három sorba rendezzük a következőképpen:

$$\begin{align*} &1 \ \ 4 \ \ 7 \ \ 10 \ \ 13 \ \ 16\ldots\\ &2 \ \ 5 \ \ 8 \ \ 11 \ \ 14 \ \ 17\ldots\\ &3 \ \ 6 \ \ 9 \ \ 12 \ \ 15 \ \ 18\ldots \end{align*}$$

Igazoljuk, hogy mindhárom sorból kiválasztható egy-egy végtelen mértani sorozat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Jól láthatóan az első sorozatban a 3-mal osztva 1 maradékot adó számok vannak, a másodikban a 2-t adók, a harmadikban pedig a 3-mal oszthatók. Vegyük észre, hogy ha egy számot megszorzunk egy 3-mal osztva 1 maradékot adó számmal, akkor a végeredmény 3-mal való osztási maradéka megegyezik a kiindulási száméval. Azaz kvóciensnek mindig választható például a 4.

Most nézzük sorban a sorokat. Az első sorban a \(\displaystyle 3k+1\) alakú számok vannak, ilyenkor például \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle q=4\) megad egy végtelen mértani sorozatot (\(\displaystyle a,aq,aq^2,\dots\)).

A második sorban \(\displaystyle 3k+2\) alakú számok vannak, \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle q=4\) meghatároz egy végtelen mértani sorozatot.

Végül a harmadik sorban a \(\displaystyle 3k\) alakú számok vannak, itt például \(\displaystyle a=3\) és \(\displaystyle q=4\) egy jó választás.

Azaz mindhárom sorban mutattunk egy-egy végtelen mértani sorozatot.


Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:129 versenyző.
4 pontot kapott:41 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:17 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:6 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai