Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1526. feladat (2019. február)

C. 1526. Egy négyzet körülírt körének az oldalakra vett tükörképeit a négyzet belsejében érintő kör területét jelölje \(\displaystyle T\). Egy tükörképet és a körülírt kört is belülről érintő kör területét jelölje \(\displaystyle t\). Határozzuk meg \(\displaystyle \frac{T}{t}\) lehetséges legkisebb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a négyzet oldala 2 (megjegyezzük, hogy az oldal bármennyinek választható, a feladat végeredményét nem befolyásolja, hiszen a területek arányát vizsgáljuk). Ekkor a körülírt körének sugara \(\displaystyle \sqrt{2}\). Először jegyezzük meg, hogy pontosan egy olyan kör létezik, ami a körülírt kör oldalakra vett tükörképeit a négyzet belsejében érinti, legyen ez \(\displaystyle K\), sugara pedig \(\displaystyle R\). Ekkor az ábra jelöléseit használva \(\displaystyle R= ON-2PN= \sqrt{2}-2(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}.\)

Másrészt olyan körből, ami egy tükörképet és a körülírt kört is belülről érinti végtelen sok van, például az ábrán \(\displaystyle k, k^{'} \text{ és } k^{''}\). Ezek területét jelölje rendre \(\displaystyle t, t^{'} \text{ és } t^{''}\). Ahhoz, hogy \(\displaystyle \frac{T}{t}\) lehetséges legkisebb értékét meghatározzuk, meg kell határozni \(\displaystyle t\) lehető legnagyobb értékét, hiszen \(\displaystyle T\) fix. Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle k\) kör területe a legnagyobb (természetesen szimmetria okokból 4 db ugyanekkora sugarú kör van, mindegyik tükörképhez tartozik egy). Ez pedig az a kör, ami a \(\displaystyle K\) kört ugyanabban az \(\displaystyle M\) pontban érinti, mint a tükörkép kör. Ehhez megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle k\) kör sugara (\(\displaystyle r\)) a legnagyobb. Húzzuk be \(\displaystyle k\)-hoz \(\displaystyle M\)-ben az \(\displaystyle e\) érintőt. Ez párhuzamos a négyzet \(\displaystyle BC\) oldalával, valamint a tükörkép körnek is érintője. Mivel az érintőnek pontosan egy közös pontja van a körrel és az összes többi pontja külső pont, így \(\displaystyle e\)-nek nem lesz közös pontja a többi (\(\displaystyle k^{'}, k^{''}, \dots\)) körrel. Továbbá mivel az összes \(\displaystyle k\) kör középpontja \(\displaystyle BC\)-n, a közös húron van, így azok sugara biztosan kisebb \(\displaystyle r\)-nél.

Már csak az van hátra, hogy kiszámoljuk \(\displaystyle r\)-t: \(\displaystyle r=\sqrt{2}-1\). (A sugár értéke éppen \(\displaystyle PN\) hossza, ami \(\displaystyle ON\) és \(\displaystyle OP\) különbségeként megkapható, és értéke \(\displaystyle \sqrt{2}-1\).) Azaz \(\displaystyle \frac{T}{t}\) lehetséges legkisebb értéke

\(\displaystyle \frac{T}{t}=\frac{(2-\sqrt{2})^2 \pi}{(\sqrt{2}-1)^2 \pi}=2.\)

A keresett lehetséges legkisebb érték: \(\displaystyle 2\).


Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balázs Réka, Beinschroth Ninett, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Cseke Balázs, Csilling Katalin, Csonka Illés, Dankó Orsolya, Egyházi Hanna, Fodor Marcel, Görcs András, Hajdú Bálint, Halász Henrik, Horváth Antal, Izsa Regina Mária, Kelemen Anna, Koleszár Domonkos, Kovács Gábor Benedek, Mácsai Dániel, Makrai-Kis Balázs, Melján Dávid gergő, Mészáros Katalin, Mezey Dorottya, Molnár Lehel, Molnár Réka, Móricz 777 Anna, Nagy 009 Dávid, Nagy 551 Levente, Nagy 989 Lea, Nagy Zétény, Németh Norbert Marcell, Nyárfádi Patrik, Páhán Anita Dalma, Patricia Janecsko, Riba Dániel, Robin Eszter, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Selmi Bálint, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szalanics Tamás, Szanyi Attila, Trombitás Karolina Sarolta, Tüske Anna, Ungár Éva, Virág Levente, Zempléni Lilla.
4 pontot kapott:45 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai