A C. 1527. feladat (2019. február)

C. 1527. Az \(\displaystyle 1, 2, \dots, n\) számokból kettőt kitörölve a megmaradt számok összege 2019. Adjuk meg az összes lehetséges számpárt, amit kitörölhettünk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először határozzuk meg, hogy \(\displaystyle n\) milyen értékeket vehet fel, azaz milyen \(\displaystyle n\)-re lesz \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +n\) ,,nem sokkal'' nagyobb, mint \(\displaystyle 2019\).

\(\displaystyle n=63\)-ra még a teljes összeg is kisebb, mint 2019, hiszen \(\displaystyle 1+2+\dots+63=\frac{63\cdot 64}{2}=2016\). Tehát \(\displaystyle n\) nem lehet 63, és persze ennél kisebb sem.

\(\displaystyle n=64\)-re \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +64=2080\), azaz a két számot úgy kell elhagyni, hogy az összegük 61 legyen. Ezt 30-féleképpen tehetjük meg: \(\displaystyle 1+60, 2+59, 3+58, \dots, 30+31\).

\(\displaystyle n=65\)-re \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +65=2145\), azaz két számot úgy kell elhagyni, hogy az összegük 126 legyen. Ehhez a két számot 2-féleképpen válaszhattuk ki: \(\displaystyle 61+65\), valamint \(\displaystyle 62+64\).

\(\displaystyle n=66\)-ra \(\displaystyle 1+ 2+ \dots +66=2211,\) ami már túl nagy, nem tudunk két számot úgy elhagyni, hogy a maradék számok összege 2019 legyen, hiszen a két legnagyobb számot elhagyva is legalább \(\displaystyle 1+2+\dots+64=2080\) maradna az összeg.

Hasonlóan 66-nál nagyobb \(\displaystyle n\)-ek sem jók, hiszen két szám elhagyása után már az \(\displaystyle 1,2,\dots,66\) közül megmaradók összege is legalább 2080.

Azaz \(\displaystyle n\) értéke 64 vagy 65 lehet, \(\displaystyle n=64\) esetén 30-féleképpen, \(\displaystyle n=65\) esetén pedig 2-féleképpen választhattuk ki a két törölt számot. Az elhagyott számpár a következők valamelyike lehetett: (\(\displaystyle n=64\) esetén:) \(\displaystyle \{1,60\},\{2,59\},\dots,\{30,31\}\); (\(\displaystyle n=65\) esetén:) \(\displaystyle \{61,65\},\{62,64\}\).

Statisztika:

242 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	144 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári matematika feladatai