Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1531. feladat (2019. február)

C. 1531. Egy szabályos háromoldalú egyenes hasáb térfogata \(\displaystyle 2~\textrm{dm}^3\). Legalább mekkora a hasáb felszíne?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A hasábunk alap- és fedőlapja egy-egy szabályos háromszög. Legyen ennek az oldala \(\displaystyle a\). Ekkor a háromszög területe: \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). A hasáb magassága (azaz az oldallapok egyik oldala) legyen \(\displaystyle m\).

Tudjuk, hogy a hasáb térfogata \(\displaystyle 2\ (\text{dm}^3)\), azaz

\(\displaystyle 2=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot m .\)

Ebből

\(\displaystyle m= \frac{8}{\sqrt{3}a^2}.\)

Most ezeket az összefüggéseket felhasználva írjuk fel a hasáb felszínét:

\(\displaystyle A=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + 3 \cdot a \cdot \frac{8}{\sqrt{3}a^2}= \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 + \frac{8\sqrt{3}}{a}= \frac{\sqrt{3}}{2} \left(a^2+ \frac{16}{a} \right).\)

Ahhoz, hogy meghatározzuk, hogy legalább mekkora a hasábunk felszíne, meg kell határozni, hogy \(\displaystyle a^2+ \frac{16}{a}\) legalább mekkora. Ehhez a számtani és mértani közepek közti összefüggést írjuk fel a következő három számra: \(\displaystyle a^2, \frac{8}{a}, \frac{8}{a}\).

\(\displaystyle \frac{a^2+ \frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3} \geq 4,\)

azaz

\(\displaystyle a^2+ \frac{16}{a}\geq 12.\)

Ebből

\(\displaystyle A \geq 6\sqrt{3}.\)

Így a hasábunk felszíne legalább \(\displaystyle 6\sqrt{3}\ \text{dm}^2.\)

Megjegyezzük, hogy ez tényleg elő is fordulhat: A felszín akkor lesz \(\displaystyle 6\sqrt{3}\ \text{dm}^2\), ha a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis, ha \(\displaystyle a^2=8/a\), azaz, \(\displaystyle a=2\). Tehát akkor lesz \(\displaystyle 6\sqrt{3}\ \text{dm}^2\) a felszín, ha a szabályos háromszög oldala \(\displaystyle 2\ \text{dm}\), a hasáb magassága pedig \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \ \text{dm}\).


Statisztika:

A C. 1531. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. februári matematika feladatai