 |
A C. 1536. feladat (2019. március) |
C. 1536. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:
xy=x+y+5,
x2+y2=5.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először alakítsuk át a második egyenletet:
(x+y)2−2xy=5,
majd az első egyenletet felhasználva helyettesítsünk be xy=(x+y+5)-öt:
(x+y)2−2(x+y+5)=5.
Ezután bontsuk fel a zárójelet, és rendezzünk 0-ra:
(x+y)2−2(x+y)−15=0.
A másodfokú egyenlet megoldóképletetét alkalmazva kapjuk, hogy
x+y=2±82,
azaz x+y=5 vagy −3.
1. eset: x+y=5,
ekkor az első egyenletből xy=10.
Ilyenkor
y=5−x,
amit a szorzatba behelyettesítve
x(5−x)=10.
Átalakítva kapjuk, hogy
x2−5x+10=0,
amire alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét látható, hogy negatív a diszkrimináns, azaz ebben az esetben nincs megoldás.
2. eset: x+y=−3,
ekkor az első egyenletből xy=2.
Ilyenkor y=−3−x, amit a szorzatba helyettesítve adódik, hogy
x(−3−x)=2.
Átalakítva kapjuk, hogy
x2+3x+2=0,
azaz
(x+1)(x+2)=0.
Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz x=−1 vagy x=−2.
Visszahelyettesítve kapjuk, hogy
i) ha x=−1, akkor y=−2,
ii) ha x=−2, akkor y=−1.
Ezeket az eredeti egyenletekbe visszahelyettesítve látható, hogy vaban kielégítik a feltételeket.
Tehát az egyenletrendszernek két megoldása van: x=−1,y=−2 és x=−2,y=−1.
Statisztika:
221 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 144 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 20 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 12 dolgozat.
A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai
|
|