Problem C. 1540. (April 2019)

C. 1540. The coefficients of the quadratic expression \(\displaystyle ax^2+bx+c\) are integers, and \(\displaystyle a>0\). It has two distinct positive roots smaller than 1. Find the smallest possible value of \(\displaystyle a\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét az adott egyenletre. A két gyök

\(\displaystyle x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

Mivel van két különböző valós gyöke, így a diszkrimináns pozitív:

\(\displaystyle {b^2-4ac}>0,\)

azaz

\(\displaystyle {b^2>4ac}.\)

Továbbá abból, hogy mindkét gyök pozitív következik, hogy \(\displaystyle b<0\) és \(\displaystyle c>0\) (ha \(\displaystyle b>0\) vagy \(\displaystyle c<0\) lenne, akkor \(\displaystyle -b-\sqrt{b^2-4ac}\) negatív lenne). A gyökök 1-nél kisebbek, így teljesülnie kell, hogy

\(\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1,\)

amit átrendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt{b^2-4ac}<2a+b.\)

Mivel a bal oldal nem negatív, így a jobb oldal sem az, azaz olyan \(\displaystyle a,b\)-ket keresünk, melyekre fennáll, hogy

\(\displaystyle -b<2a.\)

Most térjünk vissza a

\(\displaystyle \sqrt{b^2-4ac}<2a+b\)

egyenlőtlenségre, és emeljük négyzetre mindkét oldalt (mindkét oldal pozitív, így megtehetjük, és nem fordul a relációsjel). Kapjuk, hogy

\(\displaystyle b^2-4ac<4a^2+4ab+b^2.\)

Ezt nullára rendezve és egyszerűsítve \(\displaystyle 4a\)-val

\(\displaystyle 0<a+b+c\)

adódik.

Azaz olyan \(\displaystyle a,b,c\)-t keresünk, melyekre teljesül az alábbi három egyenlőtlenség:

Vessük össze (1)-et és (2) négyzetét:

\(\displaystyle 4ac<b^2<4a^2,\)

ebből következik, hogy \(\displaystyle c<a\).

Most képzeljük úgy, hogy először \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) értékét választjuk ki megfelelően. Ekkor \(\displaystyle -b=a+c-1\)-et érdemes választani, mert (2) alapján ennél kapjuk a lehető legnagyobb értéket \(\displaystyle |b|\)-re, így ha ezzel sem teljesül (3), akkor semmivel sem. (A (2) feltétel pedig teljesül, ha (3) teljesül, hiszen \(\displaystyle c<a\).)

Ezután ezt (1)-be behelyettesítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle 4ac \leq (a+c-1)^2.\)

Innen a négyzetreemelés elvégzése, rendezés, és teljes négyzetté alakítás után:

\(\displaystyle 4c \leq (a-c-1)^2.\)

Mivel \(\displaystyle c\geq 1 \), így \(\displaystyle a-c-1 \geq 3,\) azaz \(\displaystyle a \geq c+1+3\geq 5\). Így a lehetséges legkisebb felmerülő érték \(\displaystyle a\)-ra az 5. Ha \(\displaystyle a=5\), akkor \(\displaystyle c=1\) és ekkor \(\displaystyle b=-(a+c-1)=-5\)-öt érdemes választani, ezek pedig valóban kielégítik a feladat feltételeit, az \(\displaystyle 5x^2-5x+1\) polinom gyökei: \(\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}\), ezek valóban különböző, pozitív, 1-nél kisebb számok.

Tehát \(\displaystyle a\) lehetséges legkisebb értéke 5.

Statistics:

66 students sent a solution.
5 points:	Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Csilling Katalin, Csiszár Bence László, Csonka Illés, Debreczeni Dorina, Ecsedi Boglárka, Egyházi Hanna, Fonyi Máté Sándor, Görcs András, Hajdú Bálint, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kerekes Boldizsár, Kovács Alex, Kovács Gábor Benedek, Mácsai Dániel, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Nagy 551 Levente, Németh Regő, Nyárfádi Patrik, Schneider Anna, Sebestyén József Tas, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szalanics Tamás, Trombitás Karolina Sarolta, Ungár Éva, Urszuly Csenge, Viharos Márta Judit, Williams Hajna, Zempléni Lilla.
3 points:	10 students.
2 points:	18 students.
1 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019