Problem C. 1541. (April 2019)

C. 1541. Prove that there exists a sequence of 2019 consecutive positive integers that includes exactly 19 primes.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első 20 prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. Azaz a 20. prímszám a 71, így az első 2019 pozitív egész szám nem jó választás. Ehhez hasonlóan látható, hogy nem lesz jó 2-től 2020-ig sem, 3-tól 2021-ig sem, az eddigi esetek mindegyikében 19-nél (jóval) több prímszámot találunk. Egyesével haladunk tovább, az előző 2019 számból elhagyjuk a legkisebbet és helyette bevesszük az következő egész számot (az eddigi legnagyobbnál eggyel nagyobbat). Minden lépésben a prímek száma vagy nem változik, vagy eggyel csökken, vagy eggyel nő.

Most vegyük a következő 2019 szomszédos számot: \(\displaystyle 2020!+2, 2020!+3, \dots ,2020!+2020\). Jól látható, hogy ezen számok között nincs prím, hiszen \(\displaystyle 2020!+k\) egy olyan \(\displaystyle k\)-val osztható szám, ami \(\displaystyle k\)-nál nagyobb (ha \(\displaystyle 2\leq k\leq 2020\)). Azaz a több, mint 20 prímtől lépésről lépésre lejutottunk oda, hogy 0 prím van a 2019 szomszédos szám között. Mivel már megállapítottuk, hogy a prímek száma 0, \(\displaystyle \pm 1\)-gyel változhat, azaz közben volt olyan pillanat, amikor 19 prím volt a számok között. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Statistics:

71 students sent a solution.
5 points:	Beinschroth Ninett, Biró 424 Ádám, Csilling Katalin, Csiszár Bence László, Csonka Illés, Dankó Orsolya, Debreczeni Dorina, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Gál Bence, Görcs András, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Imre Tamás, Jankovits András, Kelemen Anna, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Koleszár Domonkos, Kovács Gábor Benedek, Kundrák Ádám, Lakatos Enikő, Mácsai Dániel, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Molnár Réka, Nagy 551 Levente, Németh Norbert Marcell, Németh Regő, Nyitrai Boglárka, Patricia Janecsko, Purzsa Aletta, Riba Dániel, Rozgonyi Gergely, Sebestyén József Tas, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Szakács Ábel, Szalanics Tamás, Szanyi Attila, Szigeti Donát, Téglás Panna, Ungár Éva, Zempléni Lilla.
4 points:	10 students.
3 points:	9 students.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019