A C. 1553. feladat (2019. szeptember)

C. 1553. Adjuk meg az \(\displaystyle \left(x^{12}+\frac1{x^{18}}\right)^{25}\) kifejezés konstans tagját.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A binomiális tétel szerint kifejtve a hatványt egy tag a következőképpen írható fel:

\(\displaystyle \binom{25}{k} \cdot x^{12k} \cdot x^{-18(25-k)}.\)

Ahhoz, hogy a konstans tagját kapjuk meg, \(\displaystyle x\) kitevőjének 0-nak kell lennie, azaz a

\(\displaystyle 12k+ [-18(25-k)]=0\)

egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezt átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 30k=450,\)

azaz

\(\displaystyle k=15.\)

Ezek alapján a kifejezés konstans tagja \(\displaystyle \binom{25}{15}\).

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai