Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1557. feladat (2019. szeptember)

C. 1557. A kétjegyű pozitív egész számok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a két számnak van közös számjegye?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Összesen \(\displaystyle \binom{90}{2}=\frac{90\cdot89}{2}=9\cdot5\cdot89=4005\)-féleképpen választhatunk ki 2 számot a 90 darab kétjegyű szám közül.

A jó lehetőségeket számoljuk össze aszerint, hogy a közös számjegy mi.

Ha a közös számjegy 0, akkor a lehetséges számok, amik közül választottunk, a 10, 20, ..., 90. Ez \(\displaystyle \binom92=36\) eset.

Ha a közös számjegy 1, akkor a lehetséges számok, amik közül választhatunk, a 10, 11, 12, ..., 19; 21, 31, ..., 91. Vagyis \(\displaystyle 10+8=18\) számból választunk 2-t, amit \(\displaystyle \binom{18}{2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\)-féleképp tehetünk meg.

Ha a közös számjegy 2, akkor a lehetséges számok 20, 21, 22, ..., 29; 12, 32, ..., 92. Ez szintén 18 szám, tehát itt is \(\displaystyle \binom{18}{2}=153\)-féleképp választhatunk.

Ugyanennyi eset van, ha a közös számjegy 3, 4, ..., 9.

Duplán számoltuk azokat az eseteket, mikor a két kiválasztott szám egymás fordítottja: \(\displaystyle \overline{ab}\) és \(\displaystyle \overline{ba}\), ahol a két számjegy különböző. Ilyen eset \(\displaystyle \binom92=36\) van, hiszen a kilenc számjegyből kettőt választunk ki.

Tehát a jó lehetőségek száma:

\(\displaystyle 36+9\cdot 153-36=9\cdot153.\)

A kérdezett valószínűség:

\(\displaystyle p=\frac{9\cdot153}{9\cdot5\cdot89}=\frac{153}{445}\approx0,3438.\)

Feczkó Nóra (Budai Ciszterci Szent Imre Gimnázium, Budapest, 10. évf.) megoldása alapján

2. megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség

\(\displaystyle P= \dfrac{\text{élek száma}}{\binom{90}{2}}.\)

Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat:

1. típus: \(\displaystyle xx\) alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok)
Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az \(\displaystyle xy\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle y\ne x\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle 0\ne y\ne x\) tetszőleges számjegy (8 db).

2. típus: \(\displaystyle xy\) típusú csúcsok, ahol \(\displaystyle x, y\) különböző és \(\displaystyle y \neq0\) (és természetesen \(\displaystyle x\ne0\), hiszen kétjegyű számról van szó)
Ilyen csúcsból \(\displaystyle 9\cdot8=72\) db van, mindegyikből 33 él indul ki: az \(\displaystyle xz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db), a \(\displaystyle zx\) típusúakba, ahol \(\displaystyle 0\neq z \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle yz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq x\) tetszőleges számjegy (9 db) és a \(\displaystyle zy\) típusúakba, ahol \(\displaystyle z\notin \{0,x,y\}\) tetszőleges számjegy (7 db).

3. típus: \(\displaystyle x0\) alakú csúcsok (ahol \(\displaystyle x\neq 0\), hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk)
9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az \(\displaystyle y0\) alakú csúcsokkal, ahol \(\displaystyle 0\ne y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle xy\) alakúakkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú számokkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db).

Azaz az élek száma:

\(\displaystyle \frac{9 \cdot 17+ 72 \cdot 33 + 9 \cdot 25}{2}=1377.\)

Így a keresett valószínűség

\(\displaystyle P=\frac{1377}{4005}=\frac{153}{445}.\)

Azaz \(\displaystyle \frac{153}{445}(\approx0,3438)\) annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.

3. megoldás. Számoljunk komplementer-módszerrel! Összesen \(\displaystyle \frac{90\cdot89}{2}=4005\)-féleképpen választhatunk ki két kétjegyű számot. Ezek közül válasszuk ki azokat a párokat, amikben nincs közös számjegy. Négy esetet különböztetünk meg.

I. eset. Mind a 4 jegy különböző, és nincs közöttük 0. Ilyen esetből \(\displaystyle \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{2}\) van, mert minden jegynek különböznie kell a többitől, és a két számot felcserélve is beleszámoltuk.

II. eset. Mind a 4 jegy különböző, és van közöttük 0. Ilyenből \(\displaystyle 9\cdot8\cdot7\) pár van, mert a 0 csak az egyesek helyén állhat, így kilenc darab szám, a kerek tízesek, lehet a pár egyik tagja, a másik tag két számjegye pedig a maradék számjegyek közül szabadon választható.

III. eset. A két szám közül az egyik 11-gyel osztható. Ilyenből \(\displaystyle 9\cdot8\cdot8\) van, mert 9 darab 11-gyel osztható kétjegyű szám van, a másik szám két jegye pedig a maradék jegyek közül választható (csak az első számjegy nem lehet 0).

IV. eset. Mindkét szám 11-gyel osztható. 9 darab 11-gyel osztható szám van, ezek közül \(\displaystyle \binom92=\frac{9\cdot8}{2}\)-féleképpen választhatunk ki kettő különbözőt.

Az esetek között nincs átfedés, így a keresett valószínűség:

\(\displaystyle \frac{4005-\left(\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{2}+9\cdot8\cdot7+9\cdot8\cdot8+\frac{9\cdot8}{2}\right)}{4005}=\)

\(\displaystyle =\frac{4005-(1512+504+576+36)}{4005}=\)

\(\displaystyle =\frac{4005-2628}{4005}=\frac{1377}{4005}.\)

Hajós Balázs (ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium, Budapest, 9. évf.)
megoldása alapján

4. megoldás. 90 darab kétjegyű pozitív egész szám van. Ezek közül kettőt \(\displaystyle \binom{90}{2}=\frac{90\cdot89}{2}=4005\)-féleképpen lehet kiválasztani.

A ``kidobom a rosszat'' elv alapján keressük azokat a párokat, melyeknek nincs közös számjegyük. Ehhez veszünk egy számot, és megnézzük, hány megfelelő párt találunk hozzá.

Három eset van.

1. eset. A kétjegyű szám \(\displaystyle \overline{a0}\) alakú. Ekkor a számnak \(\displaystyle 8\cdot8=64\) olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám 9 db van, tehát ebben az esetben \(\displaystyle 9\cdot64=576\) számpárt találtunk.

2. eset. A kétjegyű szám \(\displaystyle \overline{aa}\) alakú. Ekkor a számnak \(\displaystyle 8\cdot9=72\) olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye, mivel a \(\displaystyle 0\) nem állhat a tízes helyiértéken. Ilyen alakú szám is 9 db van. Tehát ebben az esetben \(\displaystyle 9\cdot72=648\) párt találtunk.

3. eset. A kétjegyű szám \(\displaystyle \overline{ab}\) alakú. Ekkor a számnak \(\displaystyle 7\cdot8=56\) olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám \(\displaystyle 90-9-9=72\) db van. Tehát ebben az esetben \(\displaystyle 72\cdot56=4032\) párt találtunk.

Összesen \(\displaystyle \frac{576+648+4032}{2}=2628\) db pár van, mivel az összeszámolásnál mindegyik párt kétszer számoltuk.

\(\displaystyle 4005-2628=1377\) olyan pár van, amelyben a kétjegyű számoknak van közös számjegye.

Tehát a kérdezett valószínűség \(\displaystyle \frac{1377}{4005}\approx34,38\%\).

Németh Máté Előd (Révai Miklós Gimnázium, Győr, 10. évf.)

Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat.


Statisztika:

252 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:59 versenyző.
4 pontot kapott:53 versenyző.
3 pontot kapott:37 versenyző.
2 pontot kapott:27 versenyző.
1 pontot kapott:30 versenyző.
0 pontot kapott:42 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai