A C. 1557. feladat (2019. szeptember)

C. 1557. A kétjegyű pozitív egész számok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a két számnak van közös számjegye?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség

$\displaystyle P= \dfrac{\text{élek száma}}{\binom{90}{2}}.$

Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat:

1. típus: $\displaystyle xx$ alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok)
Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az $\displaystyle xy$ alakú csúcsokba, ahol $\displaystyle y\ne x$ tetszőleges számjegy (9 db) és az $\displaystyle yx$ alakú csúcsokba, ahol $\displaystyle 0\ne y\ne x$ tetszőleges számjegy (8 db).

2. típus: $\displaystyle xy$ típusú csúcsok, ahol $\displaystyle x, y$ különböző és $\displaystyle y \neq0$ (és természetesen $\displaystyle x\ne0$, hiszen kétjegyű számról van szó)
Ilyen csúcsból $\displaystyle 9\cdot8=72$ db van, mindegyikből 33 él indul ki: az $\displaystyle xz$ típusú csúcsokba, ahol $\displaystyle z \neq y$ tetszőleges számjegy (9 db), a $\displaystyle zx$ típusúakba, ahol $\displaystyle 0\neq z \neq x$ tetszőleges számjegy (8 db), az $\displaystyle yz$ típusú csúcsokba, ahol $\displaystyle z \neq x$ tetszőleges számjegy (9 db) és a $\displaystyle zy$ típusúakba, ahol $\displaystyle z\notin \{0,x,y\}$ tetszőleges számjegy (7 db).

3. típus: $\displaystyle x0$ alakú csúcsok (ahol $\displaystyle x\neq 0$, hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk)
9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az $\displaystyle y0$ alakú csúcsokkal, ahol $\displaystyle 0\ne y \neq x$ tetszőleges számjegy (8 db), az $\displaystyle xy$ alakúakkal, ahol $\displaystyle 0 \neq y$ tetszőleges számjegy (9 db) és az $\displaystyle yx$ alakú számokkal, ahol $\displaystyle 0 \neq y \neq x$ tetszőleges számjegy (8 db).

Azaz az élek száma:

$\displaystyle \frac{9 \cdot 17+ 72 \cdot 33 + 9 \cdot 25}{2}=1377.$

Így a keresett valószínűség

$\displaystyle P=\frac{1377}{4005}=\frac{153}{445}.$

Azaz $\displaystyle \frac{153}{445}(\approx0,3438)$ annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.

Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat.

Statisztika:

254 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	31 versenyző.
0 pontot kapott:	42 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai