 |
A C. 1557. feladat (2019. szeptember) |
C. 1557. A kétjegyű pozitív egész számok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy a két számnak van közös számjegye?
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség
\(\displaystyle P= \dfrac{\text{élek száma}}{\binom{90}{2}}.\)
Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat:
1. típus: \(\displaystyle xx\) alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok)
Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az \(\displaystyle xy\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle y\ne x\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle 0\ne y\ne x\) tetszőleges számjegy (8 db).
2. típus: \(\displaystyle xy\) típusú csúcsok, ahol \(\displaystyle x, y\) különböző és \(\displaystyle y \neq0\) (és természetesen \(\displaystyle x\ne0\), hiszen kétjegyű számról van szó)
Ilyen csúcsból \(\displaystyle 9\cdot8=72\) db van, mindegyikből 33 él indul ki: az \(\displaystyle xz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db), a \(\displaystyle zx\) típusúakba, ahol \(\displaystyle 0\neq z \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle yz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq x\) tetszőleges számjegy (9 db) és a \(\displaystyle zy\) típusúakba, ahol \(\displaystyle z\notin \{0,x,y\}\) tetszőleges számjegy (7 db).
3. típus: \(\displaystyle x0\) alakú csúcsok (ahol \(\displaystyle x\neq 0\), hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk)
9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az \(\displaystyle y0\) alakú csúcsokkal, ahol \(\displaystyle 0\ne y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle xy\) alakúakkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú számokkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db).
Azaz az élek száma:
\(\displaystyle \frac{9 \cdot 17+ 72 \cdot 33 + 9 \cdot 25}{2}=1377.\)
Így a keresett valószínűség
\(\displaystyle P=\frac{1377}{4005}=\frac{153}{445}.\)
Azaz \(\displaystyle \frac{153}{445}(\approx0,3438)\) annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.
Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat.
Statisztika:
254 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 59 versenyző. 4 pontot kapott: 53 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 31 versenyző. 0 pontot kapott: 42 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai