A C. 1562. feladat (2019. október)

C. 1562. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle n\) egész szám esetén \(\displaystyle n^2+1\) osztható 5-tel, akkor az \(\displaystyle {(n-1)}^2+1\) és \(\displaystyle {(n+1)}^2+1\) számok közül az egyik szintén osztható 5-tel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy négyzetszám 5-tel való osztási maradéka lehet 0, 1 vagy 4. Mivel \(\displaystyle 5|n^2+1\), ezért \(\displaystyle n^2\)-nek 4 az 5-ös maradéka. Ezért az \(\displaystyle n\) szám 5-tel osztva 2 vagy 3 maradékot ad. (Ugyanis \(\displaystyle 0\) maradékot adó szám négyzete szintén 0 maradékot ad, 1 vagy 4 maradékot adó szám négyzete pedig 1 maradékot ad.)

1. eset: az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 2
Ekkor az \(\displaystyle n+1\) szám 5-tel osztva 3 maradékot ad, \(\displaystyle (n+1)^2\) pedig 4-et, azaz \(\displaystyle 5|(n+1)^2+1\).

2. eset: az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 3
Ekkor az \(\displaystyle n-1\) szám 5-tel osztva 2 maradékot ad, \(\displaystyle (n-1)^2\) pedig 4-et, azaz \(\displaystyle 5|(n-1)^2+1\).

Tehát megmutattuk, hogy ha \(\displaystyle n^2+1\) osztható 5-tel, akkor az \(\displaystyle (n-1)^2+1\) és \(\displaystyle (n+1)^2+1\) számok közül valamelyik szintén osztható 5-tel.

Statisztika:

356 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	109 versenyző.
4 pontot kapott:	122 versenyző.
3 pontot kapott:	71 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai