Problem C. 1583. (January 2020)

C. 1583. In the Cartesian coordinate plane, represent the points for which the following inequality holds:

\(\displaystyle |x|+|y|+|x+y|\le 2. \)

What is the area of the resulting figure?

(Croatian problem)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először jegyezzük meg, hogy az abszolútértékek miatt az ábra középpontosan szimmetrikus lesz az origóra (ha egy \(\displaystyle (x,y)\) pont eleme a ponthalmaznak, akkor a \(\displaystyle (-x,-y)\) pont is eleme), azaz elég megnézni az I. és II. síknegyedbeli ábrázolását, és onnan már adódik a teljes ábra.

I. síknegyed, azaz \(\displaystyle x,y \geq 0\)
Ekkor az abszolútértékjelek elhagyása, majd 2-vel való osztás után a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle x+y \leq 1.\)

Az \(\displaystyle x+y=1\) egyenlőséget kielégítő pontok az I. síknegyedben az \(\displaystyle (1,0)\) és \(\displaystyle (0,1)\) pontokat összekötő szakasz pontjai, a megfelelő pontok tehát ezen szakasz ,,alatt'' helyezkednek el.

II. síknegyed, azaz \(\displaystyle x \leq 0\) és \(\displaystyle y\geq 0\)
Ekkor az egyenlőtlenségünk a következő alakban írható:

\(\displaystyle -x+y+|x+y| \leq 2.\)

Ha \(\displaystyle x+y>0\), akkor \(\displaystyle -x+y+x+y \leq 2\), vagyis \(\displaystyle y>-x\) és \(\displaystyle y\leq1\) – az \(\displaystyle y=-x\) egyenes ,,feletti" és az \(\displaystyle y=1\) egyenes ,,alatti" pontok, melyek egy derékszögű háromszöget alkotnak; ha pedig \(\displaystyle x+y\leq0\), akkor \(\displaystyle -x+y-x-y \leq 2\), vagyis \(\displaystyle y\leq-x\) és \(\displaystyle x\geq-1\) – az \(\displaystyle y=-x\) egyenes ,,alatti" és az \(\displaystyle x=1\) egyenestől ,,jobbra" lévő pontok, melyek szintén egy derékszögű háromszöget alkotnak. A két ponthalmaz együtt egy négyzetet határoz meg.

Ezek alapján ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben a keresett pontokat:

Tehát az ábrán látható hatszög pontjai elégítik ki az adott egyenlőtlenséget. Ez két egységterületű négyzetből és két fél egység területű háromszögből áll, azaz a területe 3.

A kapott síkidom területe 3.

Statistics:

189 students sent a solution.
5 points:	92 students.
4 points:	13 students.
3 points:	26 students.
2 points:	23 students.
1 point:	21 students.
0 point:	13 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020