Problem C. 1585. (January 2020)

C. 1585. What distinct positive primes \(\displaystyle p\) and \(\displaystyle q\) satisfy the equality \(\displaystyle p-4p^2+p^3=q-4q^2+q^3\)?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle 0=q^3-p^3+4p^2-4q^2+q-p,\)

majd alakítsuk szorzattá a jobb oldalon látható kifejezést:

\(\displaystyle (q-p)[(q^2+qp+p^2)-(4p+4q)+1].\)

Osszunk le \(\displaystyle (q-p)\)-vel (megtehetjük, hiszen \(\displaystyle q-p \neq 0\), mert \(\displaystyle p,q\) különböző):

\(\displaystyle 0=q^2-4q+p^2-4p+qp+1,\)

ezt tovább alakítva

\(\displaystyle 7-qp=(q-2)^2+(p-2)^2.\)

A jobb oldalon álló összeg minden tagja nemnegatív, hiszen bármely szám négyzete nemnegatív. Mivel a bal oldalon \(\displaystyle 7-pq\) áll, ezért \(\displaystyle pq\) értéke legfeljebb 7. Tudjuk, hogy \(\displaystyle p,q\) különböző pozitív prímek. Mivel \(\displaystyle 2\cdot3=6\), de bármely más \(\displaystyle p,q\) érték esetén \(\displaystyle pq\geq2\cdot5=10>7\), ezért ebből csak két megoldás lehetséges: \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) vagy \(\displaystyle p=3\) és \(\displaystyle q=2\). Ezeket az értékeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek valóban megoldások.

Vagyis két megoldás van: \(\displaystyle p=2,q=3\) és \(\displaystyle p=3,q=2\).

Statistics:

214 students sent a solution.
5 points:	86 students.
4 points:	57 students.
3 points:	21 students.
2 points:	12 students.
1 point:	17 students.
0 point:	21 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020