Problem C. 1587. (January 2020)
C. 1587. Solve the equation
\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}-\frac{\sqrt x}{x-2}=\frac{\sqrt x}{2x-1} \)
over the set of real numbers.
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. A négyzetgyök értelmezése, illetve az egyenletben szereplő törtek nevezői miatt \(\displaystyle x>0\), \(\displaystyle x\neq1/2\) és \(\displaystyle x\neq2\).
Az eredeti egyenlettel ekvivalens egyenlet az
\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{x-2}+\frac{\sqrt x}{2x-1}\)
egyenlet, amelyben a jobb oldalon kiemelhetjük a \(\displaystyle \sqrt x\) tényezőt:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}=\sqrt x\cdot\left(\frac1{x-2}+\frac1{2x-1}\right).\) |
Az (1) egyenletben a pozitív \(\displaystyle \sqrt x\)-szel szorozva és a jobb oldali zárójeles kifejezésben a műveleteket elvégezve, rendezés után azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2).\) | \(\displaystyle x-1=x\cdot\frac{3\cdot(x-1)}{(x-2)\cdot(2x-1)}\) |
A (2) egyenletnek megoldása az \(\displaystyle x_1=1\) szám, ez megfelel a feladat feltételeinek, és az eredeti egyenletbe való behelyettesítéskor az egyenlet mindkét oldalának értéke 1.
Ha \(\displaystyle x\neq1\), akkor a (2) egyenletet az \(\displaystyle x-1\) tényezővel osztva, a jobb oldali nevezőkkel szorozva \(\displaystyle (x-2)\cdot(2x-1)=3x\), ahonnan a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után az
\(\displaystyle x^2-4x+1=0\)
egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai
\(\displaystyle x_2=2+ \sqrt3,\qquad\qquad x_3= 2- \sqrt{3}.\)
Ezek a gyökök is megfelelnek a feladat feltételeinek, és egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy kielégítik az eredeti egyenletet. A feladat megoldásai tehát az \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle x_2=2+ \sqrt3\) és az \(\displaystyle x_3= 2- \sqrt{3}\) valós számok.
2. megoldás. Mivel negyzetgyök alatt nem állhat negatív szám és a tört nevezője nem lehet nulla, így \(\displaystyle x>0\), \(\displaystyle x\neq 2\) és \(\displaystyle x \neq \frac12\).
Az egyenletet osszuk le \(\displaystyle \sqrt x\)-szel, ezt megtehetjük, hiszen a kikötésünk alapján nem 0. Kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{x-1}{ x}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2x-1}.\)
Most a nemnulla \(\displaystyle x(x-2)(2x-1)\) számmal való beszorzás után rendezzünk 0-ra:
\(\displaystyle (x-1)(x-2)(2x-1)-x(2x-1)-x(x-2)=0.\)
Végezzük el a szorzásokat, majd vonjuk össze a megfelelő tagokat, ekkor
\(\displaystyle 2x^3-10x^2+10x-2=0\)
adódik, ezt osszuk le 2-vel, és csoportosítsuk a tagokat:
\(\displaystyle (-5x^2+5x)+(x^3-1)=0.\)
Alakítsuk szorzattá mindkét zárójeles kifejezést
\(\displaystyle -5x(x-1)+(x-1)(x^2+x+1)=0,\)
majd emeljünk ki \(\displaystyle (x-1)\)-et:
\(\displaystyle (x-1)(x^2-4x+1)=0.\)
Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz \(\displaystyle x-1=0\) vagy \(\displaystyle x^2-4x+1=0\). Így vagy \(\displaystyle x=1\) vagy (a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva) \(\displaystyle x=2 \pm \sqrt{3}\). Ezeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk. (De hivatkozhatunk arra is, hogy végig ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, és mindegyik érték megfelel a kikötéseknek.)
Tehát az egyenletnek három megoldása van: \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle x=2+ \sqrt3\) és \(\displaystyle x= 2- \sqrt{3}\).
Statistics:
120 students sent a solution. 5 points: Abóczki Richárd Noel, Ágoston Viktor, Ámmer Fanni, Andó Lujza, Arató Zita, Baki Bence István, Bauer Lujza, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Bordás Milán, Csahók Mihály, Csizy Gergő , Dinh Quocbao Róbert, Hajdú Bálint, Holczer Vanda , Hoppál Zoltán, Horváth 127 Ádám, Horváth Máté, Horváth Tamás, Iván Petra, Izsa Regina Mária, Kelemen Anna, Kis 194 Károly, Lakatos Enikő, Ludányi Levente, Molnár 203 Bálint, Molnár Kristóf András, Molnár Réka, Mosoni Aliz, Müller Eszter Abigél, Nagy 009 Dávid, Nagy Bálint Zoltán, Nagy Dóra, Nagy Vanda Orsolya, Nagy Zétény, Palencsár Enikő, Pálfi Patrícia, Papp Virág, Pásti Bence, Pintér Dániel, Pipicz Petra, Szegeczki Nóra, Szigeti Donát, Szilágyi Dorka Szirka. 4 points: 52 students. 3 points: 13 students. 2 points: 6 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020