Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1616. feladat (2020. szeptember)

C. 1616. Oldjuk meg az

\(\displaystyle x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135}{113} \)

egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle v\) pozitív egész számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel \(\displaystyle y,z,v\) pozitív egészek, ezért a bal oldalon található második tag 1-nél kisebb (hiszen nevezője 1-nél nagyobb) pozitív szám. Így a bal oldalon látható kifejezés egészrésze \(\displaystyle x\), tehát \(\displaystyle x=\left[ \frac{135}{113} \right]=1\). Ekkor viszont

\(\displaystyle \frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135-113}{113}=\frac{22}{113},\)

vagyis

\(\displaystyle y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113}{22}.\)

Mivel \(\displaystyle \frac{5z}{4}>1\) (és \(\displaystyle v\) pozitív), ezért a bal oldal második tagja ismét 1-nél kisebb pozitív szám, így a bal oldal egészrésze \(\displaystyle y\). Tehát \(\displaystyle y=\left[ \frac{113}{22} \right]=5\). Ekkor

\(\displaystyle \frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113-5\cdot22}{22}=\frac{3}{22},\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}=\frac{22}{3}.\)

\(\displaystyle \frac{4}{5}\)-del való szorzás után:

\(\displaystyle z+\frac{26}{15v}=\frac{88}{15}.\)

A bal oldal második tagjának értéke legfeljebb \(\displaystyle \frac{26}{15}\) (hiszen \(\displaystyle v\) pozitív egész), és nagyobb, mint 0, így a bal oldalon látható kifejezés egész része vagy \(\displaystyle z\), vagy \(\displaystyle z+1\). Mivel \(\displaystyle \left[ \frac{88}{15} \right]=5\), ezért \(\displaystyle z=5\) vagy \(\displaystyle z=4\).

Ha \(\displaystyle z=4\) lenne, akkor a \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-60}{15}=\frac{28}{15}\) egyenlet megoldása: \(\displaystyle v=\frac{13}{14}\), ami nem egész, így itt nem kapunk megoldást.

Ha \(\displaystyle z=5\), akkor \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-75}{15}=\frac{13}{15}\) megoldása \(\displaystyle v=2\), ami egész, így itt megoldást kapunk.

Ezek alapján egyetlen megoldás van, éspedig \(\displaystyle x=1,y=5,z=5,v=2\).

A kapott számnégyest visszahelyettesítéssel ellenőrizve, vagy a lépések ekvivalens voltára hivatkozva láthatjuk, hogy ez valóban megoldás.


Statisztika:

162 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:82 versenyző.
4 pontot kapott:38 versenyző.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:4 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai