Problem C. 1616. (September 2020)
C. 1616. Solve the equation
\(\displaystyle x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135}{113} \)
where \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle v\) are positive integers.
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on October 12, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel \(\displaystyle y,z,v\) pozitív egészek, ezért a bal oldalon található második tag 1-nél kisebb (hiszen nevezője 1-nél nagyobb) pozitív szám. Így a bal oldalon látható kifejezés egészrésze \(\displaystyle x\), tehát \(\displaystyle x=\left[ \frac{135}{113} \right]=1\). Ekkor viszont
\(\displaystyle \frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135-113}{113}=\frac{22}{113},\)
vagyis
\(\displaystyle y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113}{22}.\)
Mivel \(\displaystyle \frac{5z}{4}>1\) (és \(\displaystyle v\) pozitív), ezért a bal oldal második tagja ismét 1-nél kisebb pozitív szám, így a bal oldal egészrésze \(\displaystyle y\). Tehát \(\displaystyle y=\left[ \frac{113}{22} \right]=5\). Ekkor
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113-5\cdot22}{22}=\frac{3}{22},\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}=\frac{22}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{4}{5}\)-del való szorzás után:
\(\displaystyle z+\frac{26}{15v}=\frac{88}{15}.\)
A bal oldal második tagjának értéke legfeljebb \(\displaystyle \frac{26}{15}\) (hiszen \(\displaystyle v\) pozitív egész), és nagyobb, mint 0, így a bal oldalon látható kifejezés egész része vagy \(\displaystyle z\), vagy \(\displaystyle z+1\). Mivel \(\displaystyle \left[ \frac{88}{15} \right]=5\), ezért \(\displaystyle z=5\) vagy \(\displaystyle z=4\).
Ha \(\displaystyle z=4\) lenne, akkor a \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-60}{15}=\frac{28}{15}\) egyenlet megoldása: \(\displaystyle v=\frac{13}{14}\), ami nem egész, így itt nem kapunk megoldást.
Ha \(\displaystyle z=5\), akkor \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-75}{15}=\frac{13}{15}\) megoldása \(\displaystyle v=2\), ami egész, így itt megoldást kapunk.
Ezek alapján egyetlen megoldás van, éspedig \(\displaystyle x=1,y=5,z=5,v=2\).
A kapott számnégyest visszahelyettesítéssel ellenőrizve, vagy a lépések ekvivalens voltára hivatkozva láthatjuk, hogy ez valóban megoldás.
Statistics:
162 students sent a solution. 5 points: 83 students. 4 points: 38 students. 3 points: 20 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020