Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1631. feladat (2020. november)

C. 1631. Egy egységsugarú körön adott az \(\displaystyle AB\) húr. Erre két derékszögű háromszöget emelünk: \(\displaystyle ABC\)-t úgy, hogy \(\displaystyle C\) csúcsa a körön helyezkedik el és \(\displaystyle B\)-nél van a derékszög, az \(\displaystyle ABD\) háromszöget pedig úgy, hogy \(\displaystyle AB\) az átfogója, és egyenlő szárú. Mekkora az \(\displaystyle AB\) húr hossza, ha a két háromszög területe megegyezik? Mekkora ez a terület?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöléseink az ábrán láthatók.

Mivel \(\displaystyle ABC\sphericalangle=90^{\circ}\), ezért \(\displaystyle AC\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének átmérője, és így \(\displaystyle AC=2\).
Az \(\displaystyle AD=BD=x\) jelöléssel azt kapjuk, hogy \(\displaystyle AB=x\cdot\sqrt{2}\), és így az ábra \(\displaystyle DE\) szakaszára

\(\displaystyle DE=\frac{x\cdot\sqrt{2}}2\).


A feltétel miatt az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ABD\) háromszögek kétszeres területe is egyenlő, tehát \(\displaystyle a\cdot{AB}=x^2\), azaz \(\displaystyle a\cdot x\cdot \sqrt{2}=x^2\), ahonnan

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle a=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{x\cdot\sqrt{2}}2.\)

Felírjuk a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ABC\) háromszögre:

\(\displaystyle AB^2+BC^2=CA^2\), vagyis \(\displaystyle (x\cdot\sqrt{2})^2+a^2=2^2\). A műveletek elvégzésével és (1) felhasználásával:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle x=\frac{4}{\sqrt{10}}.\)

Tudjuk, hogy \(\displaystyle AB=x\cdot\sqrt{2}\), ezért (2) szerint \(\displaystyle AB=\frac{4}{\sqrt{5}}.\)

Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ABD\) háromszögek területe tehát:

\(\displaystyle T_{ABC}=T_{ABD}=\frac{AB\cdot{a}}2=\frac{x^2}2=0,8.\)

Megjegyzések.
1. A megoldás nyilván nem függ attól, hogy a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat az \(\displaystyle AB\) egyenes ugyanazon oldalán vettük fel.
2. A megoldásból kiderül, hogy \(\displaystyle BC=DE\), és könnyen bizonyítható, hogy \(\displaystyle CA\) felezi a \(\displaystyle DE\) szakaszt.


Statisztika:

A C. 1631. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai