A C. 1640. feladat (2020. december)

C. 1640. Az $\displaystyle ABCD$ négyszögben jelöljük az $\displaystyle ABC$ háromszög súlypontját $\displaystyle S$-sel, az $\displaystyle ACD$ háromszög súlypontját pedig $\displaystyle P$-vel. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlók felezőpontjait összekötő szakasz felezi az $\displaystyle SP$ szakaszt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen először $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög, amelyben a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CD$ oldalak felezőpontja rendre $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$, az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlók felezőpontja rendre $\displaystyle K$ és $\displaystyle L$, legyen továbbá a $\displaystyle KL$ és $\displaystyle SP$ szakaszok metszéspontja $\displaystyle M$. Megmutatjuk, hogy $\displaystyle M$ az $\displaystyle SP$ szakasz felezőpontja (1. ábra).

1. ábra

Mivel $\displaystyle S$ az $\displaystyle ABC$ háromszög súlypontja, ezért a súlypont tulajdonsága alapján $\displaystyle \frac{KS}{KB}=\frac{1}{3}$.

A $\displaystyle P$ pont pedig az $\displaystyle ACD$ háromszög súlypontja, ezért $\displaystyle \frac{KP}{KD}=\frac{1}{3}$.

A $\displaystyle BKD\sphericalangle$ szárait tehát úgy metszettük el az $\displaystyle SP$ és $\displaystyle BD$ szakaszokkal, hogy

$\displaystyle \frac{KS}{KB}=\frac{KP}{KD}=\frac{1}{3}$.

A párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint ez azt jelenti, hogy $\displaystyle SP$ párhuzamos $\displaystyle BD$-vel, tehát az $\displaystyle SPDB$ négyszög trapéz, amelynek $\displaystyle BS$ és $\displaystyle DP$ szárai a $\displaystyle K$ pontban metszik egymást.

Alkalmazhatjuk tehát a párhuzamos szelőszakaszok tételét az $\displaystyle SM$ szakasz hosszának kifejezésére: $\displaystyle \frac{SM}{BL}=\frac{KS}{KB}=\frac{1}{3}$, ahonnan $\displaystyle SM=\frac{BL}{3}$.

Hasonlóképpen számíthatjuk ki a $\displaystyle PM$ szakasz hosszát is: $\displaystyle \frac{PM}{DL}=\frac{KP}{KD}=\frac{1}{3}$, ezért $\displaystyle PM=\frac{DL}{3}$.

Tudjuk, hogy $\displaystyle L$ felezi a $\displaystyle BD$ szakaszt, vagyis $\displaystyle BL=DL$, így az előző összefüggésekből $\displaystyle SM=PM$ következik, $\displaystyle M$ tehát valóban felezőpontja az $\displaystyle SP$ szakasznak.

Hasonló módon igazolható a feladat állítása konkáv négyszögre is. Legyen például az $\displaystyle ABCD$ konkáv négyszögben a $\displaystyle D$ csúcshoz tartozó belső szög homorúszög. Tekintsük az ennek megfelelő 2. ábrát.

2. ábra

Felírt összefüggéseink és megállapításaink pontról pontra megegyeznek a konvex négyszög esetén leírtakkal, ezért ismét azt kapjuk, hogy $\displaystyle KL$ és $\displaystyle SP$ $\displaystyle M$ metszéspontja az $\displaystyle SP$ szakasz felezőpontja.

Megjegyzések.

1. Bizonyításunkból az is látszik, hogy az $\displaystyle M$ pont mindig létrejön mint az $\displaystyle SP$ és $\displaystyle KL$ szakaszok közös pontja, hiszen $\displaystyle SP$ párhuzamos $\displaystyle BD$-vel és az $\displaystyle SPDB$ trapéz szárainak $\displaystyle K$ metszéspontját a $\displaystyle BD$ alap $\displaystyle L$ felezőpontjával összekötő szakasz felezi a trapéz $\displaystyle SP$ alapját is. Előfordulhat azonban, hogy a $\displaystyle K$ és $\displaystyle L$ pontok egybeesnek. Ez esetben az $\displaystyle ABCD$ négyszög nyilvánvalóan paralelogramma, amelyben az $\displaystyle SP$ szakasz felezőpontja és a $\displaystyle K=L$ pont azonos. A feladat állítása ekkor is teljesül, noha a $\displaystyle KL$ szakasz egy ponttá zsugorodik.

2. A konkáv négyszögre elmondottak érvényesek akkor is, ha a négyszögben valamelyik másik csúcshoz tartozó belső szög homorú.

3. Az állítás akkor is könnyen igazolható, ha a feladatbeli $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle ACD$ háromszögek létrejönnek, de az $\displaystyle ABCD$ négyszögnek három csúcsa egy egyenesre esik, vagyis egyik belső szöge $\displaystyle 180^{\circ}$-os. Ez valósul meg például akkor, ha a $\displaystyle C$ pont a $\displaystyle BD$ szakasz belső pontja.

Statisztika:

131 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	109 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai