Problem C. 1682. (September 2021)
C. 1682. The vertices of a unit cube are \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) as shown in the figure. The tetrahedra \(\displaystyle ABDE\) and \(\displaystyle GCFH\) are cut off the cube. Find the volume and surface area of the remaining solid.
Proposed by N. Zagyva, Baja
(5 pont)
Deadline expired on October 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle ABDE\) tetraéder páronként egymásra merőleges éleinek hossza \(\displaystyle AB=AD=AE=1\), a tetraéder többi élének hossza \(\displaystyle BD=DE=EB=\sqrt{2}\). Hasonlóképpen a \(\displaystyle GCFH\) tetraéder páronként merőleges élei \(\displaystyle GC=GF=GH=1\), illetve további élei \(\displaystyle HF=FC=CH=\sqrt{2}\). Tekintsük a következő ábrát.
Az egységnyi élű \(\displaystyle ABCDEFGH\) kocka térfogata \(\displaystyle 1\) térfogategység, felszíne \(\displaystyle 6\) darab egységnyi oldalú négyzet területével egyezik meg, tehát \(\displaystyle 6\) területegység. Az \(\displaystyle ABDE\) tetraéder térfogata:
\(\displaystyle V_{ABDE}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{AB\cdot{AD}}{2}\cdot{AE}},\)
azaz
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle V_{ABDE}=\frac{1}{6}.\) |
Nyilván ugyanennyi az \(\displaystyle GCFH\) tetraéder térfogata is, hiszen egybevágó az \(\displaystyle ABDE\) tetraéderrel. Ha ezt a két tetraédert levágjuk a kockából, akkor a \(\displaystyle BCDFHE\) ferde hasábot kapjuk, amelynek térfogata (1) alapján
\(\displaystyle V_{BCDFHE}=1-2\cdot{\frac{1}{6}}=\frac{2}{3}\)
térfogategység.
A két tetraéder levágásakor a kocka felszínéből eltávolítunk összesen a kocka három oldallapjának megfelelő területet, azaz \(\displaystyle 3\) területegységet. Ugyanakkor a keletkezett test felszínéhez "hozzáadjuk" a \(\displaystyle \sqrt{2}\) oldalhosszúságú \(\displaystyle BDE\) és \(\displaystyle HFC\) szabályos háromszögek területét. Utóbbi háromszögek területe összesen:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2\cdot{\frac{\sqrt{2}^2\cdot{\sqrt{3}}}{4}}=\sqrt{3}.\) |
Egyszerű számolással kapjuk (2) felhasználásával, hogy a tetraéderek levágása után megmaradt test felszíne:
\(\displaystyle A_{BCDFHE}=6-3+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}\)
területegység.
Statistics:
81 students sent a solution. 5 points: Albert Ákos, Bakos Eszter, Besze Zsolt, Biborka Dániel, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Flódung Áron , Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth 328 Áron, Horváth Milán, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Kiss 625 Dóra, Kurucz Márton, Lajtos Bence Levente, Murai Dóra Eszter, Nagy Daniella, Németh Máté Előd, Pekk Márton, Petneházi Péter, Poluczik Csongor, Rumpler Bianka, Sarkadi Sándor, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Süveges Gergő, Szabó 219 Petra, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szittyai Anna, Szpisják Bence Tibor, Tóth Gerda Júlia, Tóth Gréta, Török Dalma, Váczy Dorottya, Vass Boldizsár, Velkey János, Waldhauser Miklós, Weeber László, Werner Kinga, Xu Yiling. 4 points: 18 students. 3 points: 7 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2021