Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1683. feladat (2021. szeptember)

C. 1683. Anna és Boglárka a következő játékot játsszák egy-egy négyzetrácsos lapon. Mindketten kijelölnek a saját négyzetrácsos lapjukon egy \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzetet és ezen beszíneznek 7 darab \(\displaystyle 1\times1\)-es rácsnégyzetet kékre, 14-et pedig pirosra.

Egyikük sem láthatja, hogy a másik a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzeten belül hogyan színezett.

Ezután egy forduló a következőképpen zajlik: először Anna mond egy \(\displaystyle (i,j)\) számpárt, ahol az \(\displaystyle i\), \(\displaystyle j\) pozitív egész számokra \(\displaystyle 1 \le i,j \le 10\) teljesül (például az \(\displaystyle (5,2)\) számpár a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzet 5. sorának és 2. oszlopának találkozásánál levő rácsnégyzetet jelenti). Ha az \(\displaystyle (i,j)\) számpár Boglárka ábráján egy színezett négyzetet határoz meg, akkor Boglárkának azt kell mondania, hogy ,,talált'', ellenkező esetben azt, hogy ,,nem talált''. Ezután ugyanilyen feltételek mellett Boglárka mond egy számpárt, amire Anna válaszol.

Az első két fordulóban sem Anna, sem Boglárka nem talált. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a harmadik fordulóban Anna egy kék, Boglárka pedig egy piros négyzetet talál el?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során feltételezzük, hogy Anna és Boglárka sem mond olyan négyzetet, amit már korábban is mondott.

Az, hogy Anna a harmadik fordulóban kék négyzetet talál el, és az, hogy Boglárka pirosat, egymástól független események. Így az együttes bekövetkezés valószínűségét úgy határozhatjuk meg, hogy külön-külön kiszámoljuk a valószínűségeket, majd ezeket összeszorozzuk.

Anna a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 7 kék van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra kék négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{7}{98}=\frac{1}{14}\).

Ehhez hasonlóan, Boglárka a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 14 piros van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra piros négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{14}{98}=\frac{1}{7}\).


Statisztika:

A C. 1683. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai