Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1687. feladat (2021. október)

C. 1687. Egy bevásárlószatyorban találtunk három bevásárló listát. Az első listán 23 zsömle, 13 alma és 15 tojás szerepelt, a másodikon 9 zsömle, 3 alma és 28 tojás, a harmadikon pedig 25 zsömle, 18 alma és 11 tojás. Az első listán lévő árukért 2021 forintot fizettünk, a másik két bevásárlásért pedig 2031, illetve 2041 forintot, de nem tudjuk, melyik összeg melyik vásárláshoz tartozik. Minden termék darabára pozitív egész szám. Mi mennyibe került?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Jelölje a zsömle, az alma és a tojás árát rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). A következő három egyenlet írható fel:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle 23a+13b+15c=2021,\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle 9a+3b+28c=2031\textrm{ vagy }2041,\)
\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle 25a+18b+11c=2041\textrm{ vagy }2031.\)

A 3) egyenletből az 1)-et kivonva:

\(\displaystyle 2a+5b-4c=20\textrm{ vagy }10,\)

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle 5b=4c-2a+(20\textrm{ vagy }10).\)

Az 1) egyenletből kivonva a 2) egyenletet, majd behelyettesítve az előbb \(\displaystyle 5b\)-re kapott kifejezést:

\(\displaystyle 14a+10b-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)

\(\displaystyle 14a+2(4c-2a+(20\textrm{ vagy }10))-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)

\(\displaystyle 14a+8c-4a+(40\textrm{ vagy }20)-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)

\(\displaystyle 10a-5c+(50\textrm{ vagy }40)=0,\)

\(\displaystyle 2a-c+(10\textrm{ vagy }8)=0,\)

\(\displaystyle c=2a+(10\textrm{ vagy }8).\)

Ezt behelyettesítve a 4) egyenletbe:

\(\displaystyle 5b=4(2a+(10\textrm{ vagy }8))-2a+(20\textrm{ vagy }10)=\)

\(\displaystyle =8a+(40\textrm{ vagy }32)-2a+(20\textrm{ vagy }10)=6a+(60\textrm{ vagy }42),\)

\(\displaystyle b=1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4).\)

Végül a \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re kapott kifejezéseket az 1) egyenletbe visszaírva:

\(\displaystyle 23a+13(1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4))+15(2a+(10\textrm{ vagy }8)=2021,\)

\(\displaystyle 68,6a+(306\textrm{ vagy }229,2)=2021,\)

\(\displaystyle 68,6a=1715\textrm{ vagy }1791,8.\)

Az első esetben \(\displaystyle a=\frac{1715}{68,6}=25\), a második esetben nem egész értéket kapunk. Ha \(\displaystyle a=25\), akkor \(\displaystyle c=2a+10=60\) és \(\displaystyle b=1,2a+12=42\).

Tehát a zsömle 25 Ft, az alma 42 Ft, a tojás pedig 60 Ft volt.

2. megoldás. A zsömle, az alma, illetve a tojás árát jelölje rendre \(\displaystyle z\), \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle t\). A megadott feltételek alapján

\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)

és

\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\text{ vagy } 2041,\)

\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\text{ vagy }2031.\)

A harmadik egyenlethez a második egyenlet 2-szeresét és az első egyenlet 3-szorosát adva a következő egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle 112z+63a+112t=12166\text{ vagy }12176.\)

Mivel \(\displaystyle z,a,t\) egész számok, ezért

\(\displaystyle 112z+63a+112t=7(16z+9a+16t)\)

biztosan 7-tel osztható, azonban 12166 és 12176 közül csak a \(\displaystyle 12166=7\cdot 1738\) osztható 7-tel. Ez az eset annak felel meg, amikor a második listán lévő árucikkekért fizettünk 2031 forintot és a harmadikon lévőkért 2041 forintot. Tehát az egyenletrendszer, amit meg kell oldanunk:

\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)

\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\)

\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\)

Vonjuk ki a második egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 9-szeresét:

\(\displaystyle -48a+509t=28524.\)\(\displaystyle {(*)}\)

Ehhez hasonlóan, vonjuk ki a harmadik egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 25-szörösét:

\(\displaystyle 89a-122t=-3582\)\(\displaystyle {(**)}\)

Most pedig \(\displaystyle (*)\) 89-szorosát és \(\displaystyle (**)\) 48-szorosát adjuk össze:

\(\displaystyle 39445t=2366700,\)

amiből a tojás ára

\(\displaystyle t=60.\)

Ezt (például) \(\displaystyle (*)\)-ba visszahelyettesítve kapjuk, hogy az alma ára

\(\displaystyle a=\frac{122t-3582}{89}=\frac{122\cdot 60-3582}{89}=42.\)

Végül, (például) az eredeti első egyenletből a zsömle ára

\(\displaystyle z=\frac{2021-13a-15t}{23}=25.\)

Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látható, hogy \(\displaystyle z=25,a=42,t=60\) mellett mindhárom egyenlet valóban teljesül.

Tehát a zsömle ára 25 forint, az almáé 42 forint, a tojásé pedig 60 forint.

Megjegyzés. A 7-es oszthatóság vizsgálata helyett a feladat természetesen úgy is megoldható, hogy az egyenletrendszert mindkét esetben megoldjuk. A másik esetben a

\(\displaystyle z=\frac{8959}{343},\quad a=\frac{13632}{343},\quad t=\frac{20662}{343}\)

megoldás adódik, ami nem lehetséges, hiszen ezek az értékek nem egészek.


Statisztika:

A C. 1687. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai